247 

 and wenn wir ietzt den Ausdruck -~ ^ ^ - 1 - bilden, so erhalten wir 



dp k dq k dp k dq k 



eine Gleichung. deren linke Seite durch das Quadrat von N theilbar 1st, 

 wahrend die rechte Seite N einmal als Factor enthalt. Nach Fortlassung des 

 beiden Seiten o-emeinschaftlichen Theilers N enriebt sich die Formel 



(11 \ 



&quot;P* S 9 k 8 P k d( lk I &quot; d P k dq k ~ dp k dq k 

 bei deren Herleitung man auch die Hebung des gemeinsamen Theilers N ver- 

 rneiden kann, wenn man z. B. die beiden in der ersten Horizontalreihe stehen- 



den Gleichungen (10.) nach -~- und ^~ auflost und in dem fur --^ er- 



dp, op, d Pl 



haltenen Ausdruck an die Stelle von -fi und ^ ihre oben erhaltenen Werthe 



dp k dq k 



setzt. Durch die Formeln (9.) und (11.) verwandelt sich die Gleichung (8*.) in 

 d&amp;lt;f dip dgj dip dip d(f dip dy&amp;gt; k= &quot; ( d(f dip dip dy&amp;gt; ) 



dPl d&amp;lt;l\ dpz dlz &Pi dft dp 2 dq, k=z \ dp k dq k dq k dq k J 



Wir haben daher, wenn wir alle Glieder vereinigen, eine von 1 bis n sich 



erstreckende Summe 



( LLtt J \) -- - ^^ J -&quot; - ; L 



und somit den Satz: 



Sind (f = a und ip = b zwei beliebige von den n Gleichungen, welche 

 p l , p 2 , - p n als Functionen von q l} q 2 , ... q n so bestimmen, dass 



em vollstdndiges Differential ist, so milssen sie der Bedinguny genugen, 



d(f dip d(f dip d(f dip 



(12.) = 



3p, dq, dp, dq, dp n dq n 



dip d(f dip dtp dip d(f 



dp, dq, dp, dq, dp n dq n 



und zwar ist diese Gleichung eine identische, da in ihr die willkurlichen Con- 

 stanten a und b nicht vorkommen. 



Die Gleichung (12.) enthalt das in (7.) gegebene Resultat als besonderen 

 Fall. Denn nimmt man an, dass die Functionen (p, y von der Form 



9 =Pif(P x &amp;gt;Pi&amp;gt; ! ft. ^ O 



sind, so geht Gleichung (12.) in Gleichung (7.) iiber. 



