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Zweiunddreissigste Vorlesung. 



Director Beweis fiir die allgemeinste Form der Integrabilitatsbedingungen. Einfiihrung der 

 Functionen H, welche, willkiirlichen Cons tauten gleich gesetzt, die p als Functionen 



der q bestimmen. 



Wir wollen das Theorem, zu welchem wir am Ende der vorigen Vor- 



o 



lesung gelangt sind, direct beweisen. 



Denken wir uns die n Gleichungen, welche pidq l -i-p 3 dq^-\ \-p n dq n 



zu einem vollstandigen Differential machen, und zu welchen die Gleichungen 

 (p == a, ip == b gehoren, nach ]),, p. 2 , ... p n aufgelost, und diese Werthe in die 

 Gleichungen (p = a und ip == b substituirt, so werden dieselben identisch erfullt. 

 Demnach erhalt man aus der partiellen Differentiation von (p = a und \p = b 

 nach irgend einer der Grossen q wiederum eine identische Gleichung, wenn 



O A O 



hierbei die Grossen p als Functionen der Grossen q angesehen werden. So 

 ergiebt sich aus der Differentiation von (p == a nach q t 



n 

 rjfr\ 



= 



. _ _ . 



dp, dq. dp, dq. J dp n dq. J dq, 



( dp k 

 I dq. 



4-^ = 0. 



Ebenso ergiebt sich aus der Differentiation von ip = b nach q k 



=1 dpi v dq k ) H dq k 



Multiplicirt man die erste dieser Gleichungen mit - - und summirt nach i von 



1 bis 71, multiplicirt man die zweite mit --=^- und summirt nach k von 1 bis n, 



op 



so erhalt man die beiden Resultate: 



( &Pk \ i=n dip dv&amp;gt; 

 I _|_ V I I Q 



V dq.. J ,- = i dp ; dq : 



i=i k=i dp. dp k V dq. J 1=1 dp. dq. 



k=n i=n Qy dip ( dp. \ 



k=i =!. dp k dp. V dq k J 

 Wenn man diese Gleichungen von einander abzieht, so fallen die Doppelsummen 

 heraus, denn da die Grossen p aus den n Gleichungen bestimmt sind, welche 

 pidq l -\-p 3 dq^-\ ^-p n dq n zu einem vollstandigen Differential machen, so ist 



&quot; Pi \ ( dPk \ 



) = l-n ); es bleibt also iibrig 



