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( ~ j (~5~^~) linear sind, und in welehen (H a , H^) die constanten 



Grossen 



Glieder bilden. Zu beweisen ist, dass. wenn diese letzteren Grossen ver 

 schwinden, auch die ersteren sammtlich gleich Null werden. Nun ist in einem 

 Systeme linearer Gleichungen das Verschwinden der Unbekannten stets eine 

 nothwendige Folge des Verschwindens der constanten Glieder, wenn nicht die 

 Determinante des Systems gleich Null ist*), in welchem Fall die Werthe der 

 Unbekannten unbestimmt werden. Dass dieser einzige Ausnahmefall hier nicht 

 stattfindet, kann man, ohne den Werth der in Rede stehenden Determinante 

 selbst zu ermitteln, dadurch beweisen, dass man die Auflosungsformeln des 

 Systems (2*.) aus der in (2.) gegebenen Form der Gleichungen dieses Systems 

 auf folgende einfache Weise herleitet. Man setze zur Abkurzung 



~ . 

 dp. 



und bezeichne mit R die aus den n 2 Grossen a (a) gebildete Determinante, wo 

 die Werthe 0, 1, ... n 1 und i die Werthe 1, 2, . . . n annimmt, sodass 



ferner setze man 



B 6R 



daf 



Nach Einfiihrung dieser Bezeichnungen und nach Vertauschung von a und ft 

 lasst sich die Gleichung (2.) folgendermassen schreiben: 



Diese Gleichung gilt nicht nur, wenn fiir a und ft zwei von einander ver- 

 schiedene Werthe aus der Reihe 0, 1, ... n 1 gesetzt werden, sondern auch 

 wenn beide Indices einem und demselben dieser n Werthe gleich werden. In 

 diesem letzteren Fall ist Gleichung (3.) eine identische, da in der nur formell 

 verschiedenen Gleichung (2*.) alsdann alle Glieder einzeln verschwinden. 



Multipliciren wir Gleichung (3.) mit A^ A ( /\ wo r und s Zahlen aus 

 der Reihe 1, 2, ... n bedeuten, so ist es nach dem eben Bemerkten gestattet, 

 in Beziehung auf jeden der Indices a und ft unabhangig von dem anderen von 

 bis n = l zu summiren. Aendert man im Resultat die Ordnung der Sum- 

 mationen, welche einerseits nach i und k, andererseits nach a und ft auszu- 



*) S. p. 160. 



