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d. h. es ist gleichgultig, ob man zuerst die Operation A imd dann die Operation 

 B anwendet, oder zuerst die Operation B und dann die Operation A. 



Diese Unabhangigkeit des Resultats von der Ordnung, in der die Ope 

 rationen A and B angewendet werden, ist von grosser Wichtigkeit, denn sie 

 lasst sicb auf eine beliebige Anzahl von Wiederholungen beider Operationen 

 ausdebnen. Bezeicbnet man mit A\ A*, ... A &quot; die .zvveimal, dreimal, . . . 

 r/imal bintereinander angewandte Operation A und ebenso mit B~, B\ . . . B &quot; 

 die zweimal, dreimal, . . . w mal hintereinander angewandte Operation B, so 

 folgt aus der Grleichung B(A(f&quot;) = A(5(/)) die allgemeinere 



Aus diesein Resultat kann man bei der Untersucbung der beiden linearen 

 partiellen Differentialgleicbungen 



wenn dieselben den n-\-l Bedingungsgleichungen C, = genilgen, den grossten 

 Nutzen zieben, tbeils um die Losungen jeder einzelnen Differentialgleicbung. 

 tbeils um ihre simultanen Losungen zu finden. Gesetzt, es sei uns eine Losung 

 /j der Differentialgleicbung A(f~) = () bekannt, man babe also identiseb 



-^(/,) = 0, 

 so folt hieraus 





Aber da nacb unserer Voraussetzung die n-hl Bedingungen C, = erfullt sind, 

 man also die Reihenfolge der Operationen A und B umkebren kann, so gebt 

 aus der Grleiehun 



= 



die Gleicbun 



= 



hervor, d. h. ^(/) ist ebenfalls eine Losung von A(f^) = 0. Nach der Natur 

 dieser Losung sind drei verscbiedene Falle zu unterscheiden, wobei man sicb zu 

 erinnern hat, dass die partielle Differentialgleicbung A(/ ) = ausser /, nocb 

 n 1 von einander und von /, unabbiingige Losungen f.,, f. A , ... / und ausser- 

 dem die evidente Losung /= Const, besitzt. Es kann /?(/ ,) entweder erstens 

 eine von f v unabbiingige Losung /., sein, oder zweitens eine Function von /,. 

 welcbe aucb eine Constante werden kann: drittens aber muss es als ein beson- 

 derer Fall hervorgeboben werden, wenn /^(/i) dem constanten Wertbe Null 



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