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 gleich gef linden wircl. Wir haben also die drei Falle 



Im ersten Fall haben wir aus der Losurig f\ der partiellen Differentialgleichung 

 A(f&quot;) = eine zweite Losung f 2 = B(f\~) gefunden, hn dritten Fall haben wir 

 zugleich A(f\~) = und $(/ ,) = 0, d. h. /i ist eine simultane Losung von 

 A(f) = und $(/ ) 0: den zweiten Fall werden wir spater behandeln. 



Im ersten Fall, wo #(/j) gleich einer neuen Losung f., ist, kann man 

 auf dieselbe Weise weitergehen. Da namlich A(f^) = ist, so erhalt man 

 = 0, oder nach Vertauschung der beiden Operationen 



d. h. /^&quot;(/i) ist ebenfalls eine Losung von /!(/ ) = 0. Es sincl hier wiederum 

 drei Falle zu uuterscheiden, namlich: 



Im ersten Fall hat man eine dritte von f\ und f. 2 unabhangige Losung f. A = ^ 2 (/i) 

 von .4(/ ) = 0, im dritten Fall ist f z = ^(/,) eine simultane Losung von A(f) = 

 und B(f&quot;) == 0; auf den zweiten Fall, in welchem ^ 2 (/0 eme Function der 

 frfiheren Losungen f\ und f., = B(f]~) ist, die auch in eine nicht verschwindende 

 Constante i lbergehen kann, werden wir spater zuriickkommen. Durch wieder- 

 holte Anwendung der Operation B entsteht aus der einen Losung f\ die Reihe 

 von GrOssen /i, #(/,), ^&amp;gt; 2 (/i), ^ :) (/i), welche sammtlich der partiellen Diffe- 

 rentialgleichung ^4.(/ ) = geniigen. Es sind nun entweder die n ersten Grossen 

 dieser Reihe von einander unabhangige Functionen und bilden alsdann ein voll- 

 standiges System von Losungen der Gleichung A(f) = 0, oder es wird schon 

 eine jener n Grossen, etwa B &quot;(fy, eine Function der vorhergehenden / ,, B(f^), 

 B- (/ ,), . . . /^ &quot;~ l (/i)? welche sich auch auf eine nicht verschwindende Constante 

 oder auf Null reduciren kann. 



Der fiir die Auffindung der Losungen von A(/ ) = ungiinstige Fall, 

 in welchem nicht der ganze Cyclus derselben durchlaufen wird, erleichtert ge- 

 rade die Auffindung der simultanen Losungen von A(f) = und B(f) = 0. 



Die allgemeinste Losung von A(f) = ist eine willkurliche Function 

 ihrer n von einander unabhangigen Losungen f l} /!&amp;gt;, . . . f lt . Um eine simultane 

 Losung von A(f) == und B(f) = zu erhalten, muss diese willkurliche 

 Function von /j, /!,, ... f n so bestimmt werden, dass sie auch der Gleichung 

 ) == ^ geni igt. Fiihren wir zu diesem Behuf in den Ausdruck B(f) fur n 



