2. Die pythagoreische Mathematik. 37 



Iuklid spielt. Dass die Pythagoreer indessen bei 

 esem einen Falle nicht stehen geblieben sind, geht nicht 

 ir aus der allgemeinen Erwahnung der Flachenanlegung 

 jrvor, sondern auch aus der besonderen Erwahnung des 

 fur diese Untersuchungen, wie wir sehen vverden, so be- 

 deutungvollen pythagoreischen Lehrsatzes und einer 

 dafur eben so wichtigen Konstruktion. Daran hat sich 

 denn auch die Entdeckung angeschlossen, dass Gleichun- 

 gen zweiten Grades Veranlassung gaben zu inkommen- 

 surablen, numerische Gleichungen zu irrationalen Gros- 

 sen (worunter wir bestandig solche verstehen wollen, die 

 mit der gebrauchten Einheit inkommensurabel sind). 

 Wenn auch ein Teil ihrer zahlentheoretischen Untersu 

 chungen eine Fortsetzung der Zahlenmystik der Babylonier 

 gewesen sein mag, so ging doch ein anderer Teil darauf 

 aus solche quadratische Gleichungen zu bilden, bei denen 

 die Irrationalitat vermieden wird. 



Bei allgemeinen Untersuchungen lassen sich irratio- 

 nale Grossen nun einmal nicht vermeiden. Dadurch 

 wurden aber die bis dahin benutzten mathematischen Be- 

 grundungen unzuverlassig, und es 1st das grosse Verdienst 

 der Pythagoreer hierauf aufmerksam geworden zu sein. 

 Man kannte namlich wohl Proportionen und hat sie 

 wahrscheinlich in der einen oder anderen Form schon 

 friih angewandt; aber vor Eudoxus Zeit konnte hierbei 

 nur die Rede sein von Gleichheit der Verhaltnisse zwischen 

 ganzen Zahlen, oder von der Gleichheit solcher Verhalt 

 nisse mit den Verbal tnissen zwischen geometrischen Grossen, 

 die folglich kommensurabel sein mussten. Man benutzte 

 die einfachen Rechnungsarten, z. B. die Multiplikation, 

 und wusste edenso wie die Agypter, dass z. B. ein Recht- 

 eck, wenn die Flacheneinheit das Quadrat iiber der 

 Langeneinheit ist, gleich dem Produkte der Seiten wird ; 

 wenn aber die Seiten inkommensurabel sind, so wird nicht 



