38 - Die griechische Mathematik: 



nur der Beweis durch Einteilung in Quadrate unbrauch- 

 bar, sondern der Satz selbst wird sinnlos, da es dem 

 beim gewohnlichen Rechnen gebildeten Begriffe eines Pro- 

 duktes widerstreitet, wenn die Faktoren irrationale Zah- 

 len sind. 



Diese Schwierigkeit war es, die die Pythagoreer und 

 mit ihnen die folgenden griechischen Mathematiker iiber- 

 wanden durch geometrische Darstellung der all- 

 gemeinen Grosse. 1m ersten Augenblick kann es aller- 

 dings so aussehen, als ob hiermit nur wenig gewonnen 

 sei, da eine beliebig gezeichnete Strecke ebensowohl eine 

 bestimmte Grosse hat wie eine beliebig gewahlte Zahl. 

 Die gezeichnete Figur dient jedoch nur dazu die Figur 

 festzuhalten, die beschrieben wird, und in dieser konnen 

 die Grossen alle die Werte annehmen, die zu der Beschrei- 

 bung stimmen. Die Darstellung einer Grosse durch die 

 Lange einer Strecke kann dadurch, ebenso wie die in der 

 Algebra gebrauchliche Darstellung durch einen Buchstaben, 

 auf kontinuierlich variierende Grossen angewandt werden. 

 Die Griechen wussten allerdings ebensowenig etwas von 

 negativen wie von imaginaren Grossen; aber das Bediirf- 

 nis nach den ersteren wird dadurch etwas verringert, dass 

 die Variationen der Figur teilweise dieselben Verallgemeine- 

 rungen darbieten konnen, die wir nun durch Benutzung 

 negativer Grossen erreichen. 



Aus diesen Bemerkungen lasst sich erkennen, dass 

 die Operationen mit den geometrisch dargestellten Grossm 

 eine ahnliche Rolle spielen wie unsere algebraischen Ope 

 rationen. Wir wollen deshalb die Lehre von diesen geo- 

 metrischen Operationen die geometrische Algebra 

 nennen. Diese soil hier so dargestellt werden, wie wir 

 sie kennen teils aus dem zweiten Buche von Euklids 

 Elementen, teils aus der Anwendung, die iiberall von ihr 

 in der griechischen Mathematik gemacht wird, namentlich 



