40 Die griechische Mathematik: 



3, Die geometrische Arithmetik, 



In unseren Lehrbiichern findet man durchgehends 

 einen geometrischen Beweis fiir den Satz, dass in einem 

 Produkte von ganzen Zahlen die Reihenfolge der Faktoren 

 beliebig ist. Dieser besteht darin, dass man die Einheiten 

 oder die Punkte, die diese darstellen, in Form eines 

 Rechtecks hinschreibt. Jede horizontale Reihe enthalt 

 die Einheiten des Multiplikanden, und die Anzahl der 

 Reihen ist der Multiplikator. Die Vertauschung der hori- 

 zontalen Reihen mit den vertikalen ergiebt dann die Ver- 

 tauschbarkeit der Faktoren. Benutzt man statt der Ein 

 heiten kleine Quadrate mit der Seite 1, so hat man gleich- 

 zeitig den geometrisohen Satz bewiesen, dass die Grosse 

 eines Rechtecks durch das Produkt der Seiten ausgedruckt 

 wird. Unterlasst man dagegen eine bestimmte Einheit 

 zu wahlen, so erhalt man, wenn die Seiten kommensu- 

 rabel sind, den Satz, dass zwei Rechtecke sich wie die 

 Produkte ihrer Seiten verbal ten. 



Von dieser Darstellung riihrt die bei den Griechen 

 allgemein gebrauchliche Benennung ebene Zahlen her 

 fiir solehe, die aus zwei Faktoren zusammengesetzt sind, 

 also eine rechteckige Flache bilden, und die noch jetzt 

 gebrauchliche Quadratzahl. Ebene Zahlen heissen iihn- 

 lich, wenn ihre Faktoren proportional sind; sie verhalten 

 sich dann wie zwei Quadratzahlen. 



Aus dem Quadrat, das eine gewisse Quadratzahl (rc 2 ) 

 darstellt, erhalt man die nachste (rc-|-l) 2 , indem man 

 langs den beiden Seiten 2 n neue kleine Quadrate legt 

 und noch eins in den dadurch entstehenden einspringen- 

 den Winkel. Diese gauze Erganzungsfigur, sowie im all- 

 gemeinen eine Figur, die die Differenz zwischen zwei per- 

 spektivisch ahnlichen Figuren mit einem Eckpunkt als 



