3. Die geometrische Arithmetik. 



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Jmlichkeitspunkt darstellt, heisst ein Gnomon. Im vor- 

 liegenden Falle ist dieser 2n-\-l. Man findet auf diese 



r eise, dass die Quadratzahlen sich als Summen der ersten 

 mgeraden Zahlen bilden lassen. Lasst man 2n-\- 1 selbst 

 dne Quadratzahl sein, so erhalt man diejenige Bestim- 



mng der rationale!) Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks, 



ler diejenige Losung der unbestimmten Gleichung 



ganzen Zahlen, die(S. 3 5) dem Pythagoras zugeschrieben 

 irde. Diejenige, welche Plato zugeschrieben wurde, er- 

 alt man dadurch, dass man dern Gnomon die Breite 2 giebt. 

 Wenn man dem Gnomon eine beliebige Breite giebt, 

 erhalt man die allgemeinste Losung der eben genann- 

 m Gleichung in ganzen Zahlen. Um dies zu erreichen, 

 mutzt Euklid im Isten Hiilfssatze zu Satz 28 des lOten 

 Juches eine Umformung, die in unserer algebraischen 

 jprache am nachsten einer Einfuhrung der neuen Unbe- 

 innten z-\-x = u, z x=-=v (d.h. Breite des Gnomons 

 p) entsprechen wur- 

 le;Mpinussdanngleich A_ 

 einem Quadrat^ 2 sein. 

 Um uns enger an Eu- 

 kli^d anzuschliessen, 

 der sich in diesem 

 Falle auf die in sei- 

 nem 2 ten Buche ent- 



B D 



M 



wickelte geometrische 



Algebra stiitzen kann, wollen wir aus dieser bereits hier 

 den 6ten Satz des 2ten Buches, zu dem wir bald gelangen 

 werden, anfiihren. Dieser sagt aus (vergl. im Folgenden 

 S. 48), dass, wenn C Mittelpunkt der Strecke A B, D ein 

 Punkt ihrer Verlangerung ist, 



(d. h. mit den oben benutzten Zeichen: 



a? 2 ). 



