Die griechische Matheraatik. 



- -len hier alle .Strecken gauze Zahlen darstelle: 

 miissen zunachst AD(=u) und BD(=c] beide entweder 

 gerade oder beide ungerade Zahlen sein, damit A B = 1 

 (oder u v = 2 x) gerade werden kann. Die notwendige 

 und ausreichende Bedingung dafiir, dass der Gnomon 

 AD . BD eine Quadratzahl wird, ist demnachst die, 

 A D und BD ahnliche Zahlen darstellen, oder in un~ 



he, dass AD = am*, BD=an 2 1 also 



m 2 - n- 

 ; = L D = a -, x = L B= a , y = a 



Aus einer sole-hen Darstellung von Zahlen durch 

 Rechtecke und Quadrate hat sich, wie wir sehen werden, 

 die Grundlage fur die geometrische Algebra entwickelt: 

 aber die geometrische Arithmetik hat auch andere Figuren 

 benutzt. Wir haben gesehen, dass den Pythagoreern 

 die Kenntnis der Dreieckszahlen zugeschrieben wurde. 

 Unter diesen versteht man Surnmen der ersten Zahlen 

 der natiirlichen Zahlenreihe, und zwar setzt man die 

 Einer der einzelnen Zahlen als Reihen von Punkten unter- 

 einander, so dass sie ein Dreieck bilden. Man sieht leicht, 

 wie diese Darstellung sich zu einer wirklichen Berechnung 

 hat benutzen las.ren. Man brauchte namlich nur ein 

 zweites kongruentes, aus Punkten gebildetes Dreiecv 

 an das erste zu legen, dass beide zusammen ein Parallelo 

 gram bildeten. Da nun in jeder Reihe gleich viele Pi; 

 liegen (n -f- 1 bei n Reihen von Zahlen), so wird die 

 zahl aller Punkte des Parallel ogramms, also das Dop] 

 der Dreieckszahl, n n 1;. U dieses Ver- 



fahren ganz dasselbe 1st wie das algebraische, bei dem 

 man die arithmetische Reihe in umgekehrter Ordnung 

 zu sich selbst addiert. 



Da die Einheit, die in dieser Reihe die Differei;/ 

 willkiirlich gewahlt werden kann, und da ein konstanter 



