3. Die geometrische Arithmetik. 43 



iddend in jedem Gliede nur ein Produkt giebt, das zur 

 Summe hinzugefugt werden soil, so hat man nun leicht 

 eine beliebige arithrnetische Reihe summieren 



konnen. Ubrigens kann man die | | _ i H 



Differenz auch wie in der neben- 



stehenden Figur als eine Strecke , H | \ i 



abtragen, die unmittelbar eine be 

 liebige Grosse bezeichnet. Aus einer &quot; 

 weitergehenden Untersuchung von arithmetischen Reihen, 

 die Archimedes in seiner Schrift iiber die Spiralen vor- 

 mmrnt, ergiebt sich, dass die Summation auf die an- 

 gedeutete Weise vorgenommen worden ist. 



Indera wir uns zuriickwenden zur Darstellung der 

 Einer durch Punkte, wollen wir noch ein, namentlich 

 durch Nikomachus bekanntes, Mittel erwahnen zur geo- 

 metrischen Darstellung arithmetischer Reihen mit dem 

 Anfangsglied 1 und einer beliebigen ganzen Zahl (n 2) 

 als Differenz. Dieses besteht in der Anwendung der so- 

 genannten Potygonalzahlen (/i-eckszahlen). Man tragt das 

 zweite Glied (n 1) durch Punkte ab, die mit einem 

 festen Punkte ein n-eck bilden. Fiir den festen Punkt 

 als Ahnlichkeitspunkt wird dieses Vieleck zu einer Reihe 

 ahnlicher ra-ecke erganzt durch eine Reihe von Gnomonen, 

 von denen jeder ein Glied der Reihe darstellt. Ftir n = 4 

 erhalt man die Viereckszahlen, oder, da die Gestalt des 

 Vierecks gleichgiiltig ist, die oben genannten Quadrat- 

 zahlen. 



Die hier erwahnte geometrische Arithmetik hat man 

 auch auf den Raum ausgedehnt. Raumliche Zahlen 

 sind solche, die durch ein Parallelepipedon dargestellt 

 werden, also Produkte aus 3 Faktoren. Sind diese gleich 

 gross, so erhalt man Kubikzahlen. Bei zwei ahnlichen 

 raumlichen Zahlen sind die Faktoren proportional; ihr 

 Verhaltnis ist also gleich dem zwischen zwei Kubikzahlen. 



