4. Die geometrische Algebra. 45 



ithmetische Behandlung dieser benutzen. Es kann des- 

 ilb nicht irrefiihrend sein, wenn ich im Folgenden mit 

 und a 2 das Rechteck aus a und b und das Quadrat 

 iber a bezeichne. 



Auf diese Weise hat man erne zweite geometrische 

 Darstellung von Grossen erhalten, namlich als Flachen, 

 vorlaufig von Rechtecken und Quadraten. Um sie addieren 

 t und subtrahieren zu konnen, musste man ihnen eine ge- 

 meinschaftliche Seite verschaffen, und zwar musste dies 

 ohne Benutzung der Lehre von den Proportionen geschehen, 

 denn diejenige, die man im 5ten Jahrhundert besass, war 

 auf den ausschliesslichen Gebrauch von kommensurablen 

 Grossen gegriindet. Die Einfiihrung einer neuen Seite in 

 ein Rechteck wurde mit Hiilfe des folgenden Satzes vor- 

 genommen. Ein Rechteck wird durch Parallelen zu den 

 Seiten, die durch einen Punkt derselnen Diagonale gehen, 

 in vier Rechtecke geteilt, von denen die beiden, durch 

 welche die Diagonale nicht geht, gleich sind (vergl. im 

 Folgenden die Figuren auf S. 46 48, wo man sich dann 

 im gegenwartigen Zusammenhange die Quadrate mit Recht 

 ecken vertauscht denken muss). 1st das eine von diesen 

 das gegebene, so ist es leicht, dem anderen eine gegebene 

 Seite zu geben. Diese Konstruktion, welche der Division 

 entspricht, ebenso wie die Konstruktion eines Rechtecks 

 aus gegebenen Seiten der Multiplikation, hat den beson- 

 deren Namen Flachenanlegung (naQa^oXrj] erhalten, oder 

 einfache Flachenanlegung im Gegensatze zu der spater 

 folgenden elliptischen und hyperbolischen Flachenanlegung. 

 Die hierfur benutzte Figur findet, wie wir bald sehen wer 

 den, auch andere wichtige Anwendungen. Derjenige Teil 

 der Figur, der aus den beiden gleich grossen Rechtecken 

 und einem der beiden anderen besteht (z. B. C BEM in 

 der Figur auf S. 47) heisst hier wie in der geometrischen 

 Arithmetik Gnomon. 



