50 Die griechische Mathematik: 



darauf, ob wir in unserer modernen Umschreibung von 

 Euklid II, 6 



BD = x oder AD = x 

 setzen. 



Wir sehen also, dass die Alien alle Formen der 

 Gleichung zweiten Grades behandelt haben, die positive 

 Wurzeln ergeben, und von anderen konnte nicht die Rede 

 sein, da negative Grossen ein unbekannter Begriff waren 

 (sonst batten sich II, 5 und II, 6 zu einem Satze vereinigen 

 lassen). Wegen der bier mitgeteilten geometriscben Lo- 

 sung setzten wir jedoch -voraus, dass das gegebene Glied, 

 das der Homogenitat wegen in jedem Falle eine Flache 

 sein musste, in Form eines Quadrates gegeben ware, und 

 die Losung wurde dann durch den sogenannten pytha- 

 goreischen Lehrsatz bewerkstelligt. Dieser, von welchem 

 wenigstens spezielle Falle den Agyptern bereits bekannt 

 waren, wird dem Pythagoras zugescbrieben, ohne dass 

 man jedoch etwas dariiber weiss, wie er ihn bewiesen 

 hat. Der Beweis kanri moglicherweise durch Benutzung 

 ahnlicher Dreiecke gefiihrt worden sein. kann also mit 

 der damals bekannten Lehre von den Proportionen nur 

 exakt gew r esen sein, wenn die Seiten kommensurabel waren; 

 derm die Einfuhrung der allgemein giiltigen geometrischen 

 Begriindungen hatte damals soeben begonnen, und der 

 allgemein gultige Beweis bei Euklid (I, 47) soil, wie 

 ausdriicklich bemerkt wird, von ihm selbst herruhren. 

 Da Euklid beweist, dass das Quadrat iiber einer Kathete 

 gleich dem Rechteck aus ihrer Projektion auf die Hypote 

 nuse und der ganzen Hypotenuse 1st, so liegt es nicht 

 fern anzunehmen, dass fur den alteren Beweis, den er 

 ersetzen will, die ihm entsprechenden Satze iiber mittlere 

 Proportionalen benutzt worden sind. 



Was dennachst die Verwandlung einer Figur in ein 

 Quadrat betrifft, die entweder benutzt worden sein muss, 



