5. Num. quadr. Gleichungen; Quadratwurzel. 55 



rendigen Bedingungen dafiir, dass &quot;V/a? 2 + # 2 und }/x 2 z/ 2 

 itional werden. Er land also, dass sie irrational sind, 

 ,-enn die Bedingungen nicht erfiillt werden. Von ein- 

 jherer Beschaffenheit ist ein wahrscheinlich sehr alter 

 lachweis dafiir, dass \/2 irrational ist; dieser hat - 

 wenn auch mit Unrecht einen Platz am Ende des 

 lOten Baches in einigen Ausgaben von Euklid erhalten. 

 Abgesehen von der geometrischen Darstellung lasst er sich 



etwa folgendermassen ausdriicken. Soil V 2 = sein, wo 



n 



der Bruch --so viel wie moglich verkurzt ist, so muss 

 n 



man m 2 = 2 n 2 haben. Hieraus folgt, dass m 2 eine ge- 



rade Zahl ist, also auch m. Da - - unverkiirzbar ist, 



n 



muss n also ungerade sein. Wenn aber m gerade ist, 

 so folgt daraus, dass m 2 teilbar sein muss durch 4, mit- 

 hin n 2 durch 2, folglich dass n gerade ist. Da nun n 

 nicht zugleich gerade und ungerade sein kann, so kann 

 y 2 nicht ein unverkiirzbarer Bruch sein. 



Ein ahnliches Verfahren lasst sich wie bekannt im 

 allgemeinen benutzen um nachzuweisen, dass eine Wurzel 

 aus einer ganzen Zahl kein Bruch sein kann. Mehrere 

 Satze im 8 ten Buche Euklids mogen urspriinglich mit 

 diesem Ziel vor Augen entwickelt und in alterer Zeit auch 

 dafiir benutzt worden sein. Das gilt z. B. vom 6ten Satz, 

 der - - wenn auch in einer anderen Form ausdriickt, 

 dass eine Potenz eines unverkiirzbaren Bruches selbst ein 

 unverkiirzbarer Bruch sein muss. Indessen giebt es noch 

 ein allgemeines Mittel, das Euklid im lOten Buche giebt 

 um die Rationalitat einer Grosse zu priifen oder, was 

 dasselbe ist, die Kommensurabilitat zweier Grossen. Dieses 

 besteht in der Anwendung derselben Operation, die zur 

 Bestimmung des grossten gemeinschaftlichen Maasses der 



