56 Die griechische Mathematik: 



beiden Grossen dient. Sind die Grossen durch Strecken 

 dargestellt, so muss man die kleinere b auf der grosseren 

 so oft abtragen, dass der Rest c kleiner wird als b, dar- 

 auf c auf b u. s. w. Lasst diese Operation sich bis ins 

 Unendliche fortsetzten, so sind die Grossen inkommensu- 

 rabel. Auf diese Weise findet man leicht, dass eine Strecke 

 durch stetige Teilung in Abschnitte geteilt wird, die in- 

 kommensurabel mil sich und der Strecke selbst sind. 

 Heisst namlich die Strecke a und die Abschnitte x und 

 y, so hat man 



a x y 



x y x y 



Die Operation, die zum grossten gemeinschaftlichen Maass 

 fiihren soil, wird also eine fortgesetzte Teilung der neuen 

 Abschnitte, so dass sie sich offenbar nicht zu Ende fiih 

 ren lasst. 



Da nun solche Wurzeln von Gleichungen zweiten 

 Grades, die mit den gegebenen Grossen inkommensurabel 

 werden, sich nicht durch diese und durch Zahlen aus- 

 driicken lassen, so ist es begreiflich, dass die Griechen 

 bei exakten Untersuchungen keine Naherungswerte ein- 

 fuhrten, sondern welter operierten mit den gefundenen 

 Grossen, die dargestellt wurden durch die Strecken, die 

 sich aus der, der Losung der Gleichung entsprechenden, 

 Konstruktion ergaben. Es ist das ganz ebenso, wie wenn 

 wir Wurzeln nicht ausrechnen, sondern uns damit begnligen 

 diese durch Quadratwurzelzeichen und andere algebraische 

 Zeichen auszudriicken. Da indessen eine Strecke wie die 

 andere aussieht, so erhielt man dadurch nicht denselben 

 Uberblick, den die Zeichensprache uns gewahrt. Deshalb 

 wurde es notwendig eine Klassifikation der irrationalen 

 Grossen vorzunehmen, die sich durch successive Losung 

 von Gleichungen zweiten Grades ergeben batten. Eine 



