5. Num. quadr. Gleichungen; Quadratwurzeln. 



I endbar zu machen, die sich nur naherungsweise durch 

 len ausdrticken lassen mid bei denen deshalb Zahlen- 

 eise ungeniigend sein wiirden, entwickelten . sich die 

 strengen Anspriiche an die Unfehlbarkeit der Schliisse 

 und die Genauigkeit des Ausdrucks, durch deren Erfiil- 

 lung die Mathematik die exakte Wissenschaft gewor- 

 den ist, und die Worte mathematische Gewissheit und 

 absolute Gewissheit identisch geworden sind. Die Griechen 

 haben dadurch den Grund gelegt, der erforderlich war 

 um den hochragenden Gedankenbau des Archimedes 

 und Apollonius zu tragen. Zu derselben Grundmauer 

 hat die moderne Mathematik zuriickkehren miissen, als 

 sie nach langem Zwischenraurne wieder ihre wissenschaft- 

 liche Bedeutung aufrichten sollte; ja zu den von den 

 ( Jriechen entwickelten und hochgehaltenen logischen Grund- 

 satzen nimmt sie sogar in unseren Tagen ihre Zuflucht, 

 um aufs neue der, jetzt auf arithmetischem Wege auf- 

 gefiihrten, Mathematik dieselbe Sicherheit zu geben wie 

 die war, die die Griechen unter geometrischer Form er- 

 reichten, oder um die Infinitesirnalrechnung unanfechtbar 

 zu machen. 



Eine so grossartige Leistung hatte keineswegs Gleich- 

 giiltigkeit zu zeigen brauchen gegeniiber den Versuchen 

 dasjenige naherungsweise zu berechnen, was sich mit voller 

 Genauigkeit nicht geben lasst. Archimedes zeigte, dass 

 man auch die Resultate einer solchen Rechnung auf un- 

 anfechtbarer Weise aufstellen und beweisen kann, namlich 

 durch Angabe der Grenzen, zwischen denen die gesuch- 

 ten Grossen liegen miissen, aber sein Beispiel wurde in 

 den iibrigen streng mathematischen Werken nicht befolgt. 

 So kam es, dass die praktische Berechnung als etwas 

 Untergeordnetes betrachtet wurde und nicht die verdiente 

 Aufrnerksamkeit bei den eigentlichen Mathematikern fand, 

 die doch am besten imstande gewesen waren die dahin 



