7. Die Quadratur des Kreises. 75 



wie der Satz, dass Kreisflachen sich vvie die Quadrate 

 iiber den Durchmessern verhalten. Den euklidischen Be- 

 weis des letzten Satzes kann man jedoch noch nicht ge- 

 kannt haben, iiberhaupt keinen, der den spateren griechi- 

 schen Mathematikern geniigt haben wurde. Ausgangspunkte 

 fiir einen faktisch richtigen Beweis kann man indessen 

 in solchen Betrachtungen, wie die von Antiphon gemiss- 

 brauchten waren, gehabt haben. Eine Strecke wie ryf 

 hat man leicht konstruieren konnen, sei es nun durch 

 die in der geometrischen Algebra erwahnte Methode, ein 

 Rechteck mit den Seiten r und f r in ein Quadrat zu 

 verwandeln, oder sei es durch Anwendung des pythago 

 reischen Lehrsatzes. Die Einschiebung der Strecke 

 EZ=r^\ zwischen CD und die Kreislinie, so dass 

 ihre Verlangerung durch B geht, ist abhangig von einer 

 Gleichung zweiten Grades, die man, wie wir als ganz 

 bestimmt annehmen, damals durch geometrische Kon- 

 struktion losen konnte. Indessen ist es, wie wir bald 

 erortern werden, doch moglich, dass diese Konstruktion 

 auf andere Weise ausgefiihrt worden ist. 



Die verschiedenen Versuche, den Kreis mit Hiilfe 

 von Zirkel und Lineal zu quadrieren, misslangen, und in 

 der neuesten Zeit hat man bewiesen, dass sie misslingen 

 mussten. Das Verlangen nach einer exakten Losung, die 

 nach den Forderungen der damaligen Zeit durch Kon 

 struktion zu einer geometrischen Darstellung liihren sollte, 

 konnte deshalb nur erfiillt werden durch Einfuhrung an- 

 derer Kurven als Gerade und Kreis. Hierbei kam es 

 nicht sonderlich darauf an, ob derartige Kurven sich me- 

 chanisch darstellen liessen, und noch weniger darauf, sie 

 durch eine diskrete Reihe von Punkten darzustellen, denn 

 diese wiirden ja nur eine Annaherung gestatten. Die 

 Hauptsache war dagegen, hier wie in anderen ahnlichen 



