90 Die griechische Mathematik: 



Dreiecke zu definieren, sondern, bevor er weiteren Gebrauch 

 von ihnen macht, sich ihrer Existenz dadurch versichert, 

 dass er im ersten Satze des ersten Buches die Aufgabe 

 lost ein solches zu konstruieren imd die Richtigkeit der 

 Konstruktion beweist. 



Die Notwendigkeit eines solchen Verfahrens macht 

 sich insofern von selbst gel tend, als gleichseitige Dreiecke 

 demnachst bei neuen Konstruktionen benutzt werden sollen ; 

 aber es ist beachtenswert, dass Euklid auf dieselbe Weise 

 mit solchen Dingen verfahrt, die in der Folge nur im 

 Beweise fiir einen Lehrsatz benutzt werden sollen. Bevor 

 er in I, 16 die Mitte einer geradlinigen Strecke benutzen 

 darf, muss er in I, 10 durch Konstruktion dieses Punktes 

 bewiesen haben, dass er wirklich existiert. Etwas ahn- 

 liches gilt fiir alle ahnlichen Falle. Die wesentliche Be- 

 deutung der geometrischen Konstruktion liegt darin, dass 

 sie zum Beweise dafiir dienen soil, dass dasjenige, 

 auf dessen Darstellung die Konstruktion ausgeht, 

 wirklich existiert. 



Mag nun auch Menachmus zuerst diese Bedeutung 

 der geometrischen Probleme, die durch Konstruktion ge- 

 lost werden, zu vollem Bewusstsein gebracht haben, so 

 hat diese sich doch auch schon fruher geltend gemacht. 

 Das hangt namlich auf das genaueste zusammen mit der 

 geometrischen Algebra. Als man gefunden hatte, dass 

 keine Zahl oder kein Zahlenverhaltnis (Bruch) existiert, 

 die mit sich selbst multipliciert 2 ergeben, und als man, 

 statt eine solche Zahl zu verlangen, eine Strecke ver- 

 langte, welche die Seite eines Quadrates ist von doppelter 

 Grosse wie das Quadrat iiber einer gegebenen Strecke, so 

 musste man die Existenz einer solchen Strecke beweisen. 

 Das geschieht dadurch, dass man sie als Diagonale des 

 Quadrates iiber der gegebenen Strecke darstellt. Eine 

 ahnliche Bedeutung erhiilt die Losung allgemeiner Glei- 



