10. Theoreme und Probleme. 91 



chungen 2ten Grades durch eine Konstruktion. Erst mit 

 dieser allgemeinen Auffassung vor Augen begreift man 

 vollkommen den Wunsch nach einer konstruktiven Losung 

 von der Quadratur des Kreises, der Dreiteilung des Win- 

 kels, der Verdoppelung des Wiirfels und der Bestimmung 

 der beiden mittleren Proportionalen. Ohne sie kann man 

 namlich durchaus nicht begreifen, dass die zum technischen 

 Gebrauch ungeeigneten Losungen, wie die von der Qua 

 dratur des Kreises durch die Quadratrix und wie die Be 

 stimmung der mittleren Proportionalen durch Archytas, 

 iiberhaupt irgendwelche Befriedigung gewahren konnten. 

 Dieselbe Auffassung wird auch den Schliissel zum Ver- 

 standnisse anderer Verhaltnisse in der griechischen Mathe- 

 matik abgeben. 



In gewissen Fallen wird iibrigens diese Benutzung 

 der Konstruktionen auch uns nicht fern liegen. Das gilt 

 namentlich, wenn eine ganz allgemein gestellte Aufgabe 

 nicht immer moglich ist, sondern gewisse Bedingungen 

 fiir ihre Moglichkeit verlangt. In solchen Fallen beginnen 

 die griechischen Schriftsteller damit, die Notwendigkeit 

 dieser Bedingungen nachzuweisen. Das geschieht durch 

 den Beweis fiir ein Theorem, das ausspricht, dass die 

 betreffende Figur immer die Eigenschaften besitzt, die die 

 Bedingungen fiir die Moglichkeit verlangen. Dass diese 

 Bedingungen ausreichend sind, wird demnachst in einem 

 Probleme bewiesen, indem angegeben wird, wie die Figur 

 zu konstruieren ist, wenn sie erfiillt sind, und bewiesen 

 wird, dass die Figur dann wirklich zustande gebracht ist. 

 Das erste Beispiel hierfiir besitzen wir in Euklid I, 20 

 und 22. Der erste Satz enthalt den Lehrsatz, dass jede 

 Seite eines Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden 

 anderen, der zweite das Problem ein Dreieck zu kon 

 struieren, dessen Seiten gegeben sind, wenn alle drei dieser 

 Bedingung geniigen. 



