11. Die analytische Methode. 95 



Diese wird wohl in der Regel durch direktes Einsetzen 

 vorgenommen, lasst sich aber auch in tJbereinstimmung 

 mil dem, was oben liber die Bildung des synthetischen 

 Beweises gesagt wurde, dadurch ausfiihren, dass man 

 Schritt fiir Schritt durch die benutzten Gleichungen in 

 umgekehrter Ordnung zuriickgeht. Dass ein solcher Be- 

 weis nicht an und fiir sich durch die vorangehende Ana 

 lyse liberfliissig gemacht wird, weiss man aus solchen 

 Fallen, in denen man durch Potenzieren einen Wurzel- 

 ausdruck fortgeschafft hat. War dieser einer von den 

 Werten der Wurzel, z. B. der positive Wert einer Quadrat- 

 wurzel, so weiss man, dass man dann fremde Losungen 

 einfiihren kann. Statt eines Beweises fiir die Richtigkeit 

 liefert die Probe dann einen Beweis fiir die Unrichtigkeit 

 dieser letzten Wurzeln. Die Analyse allein lasst also die 

 Moglichkeit fiir fremde Losungen off en. 1st die Losung 

 im voraus bekannt, so kann sie und ihr Beweis allein 

 synthetisch mitgeteilt werden, aber damit ist ein anderer 

 Ubel stand verbunden. Ist die Aufgabe beispielsweise die 

 Gleichung 



x 2 ax -f 6 = 0, 



oder eine Aufgabe, die, auf eine Gleichung gebracht, so 

 ausgedriickt werden wiirde, so kann man synthetisch mit- 

 teilen, dass 



x = -t- 



und unter dem Quadratwurzelzeichen die positive Quadrat- 

 wurzel verstehen. Die Probe oder der synthetische Beweis 

 ergiebt, dass diese Losung richtig ist; man sieht aber 

 nicht, ob sie die einzige richtige ist. 



Was hier von der algebraischen Losung nachgewiesen 

 ist, gilt allgemein : Die Analyse allein kann zu viele 

 Losungen geben, die Synthese allein zu wenige. 



