104 Die griechische Mathematik: 



oben erwahnten synthetischen Darstellung mitzuteilen mit 

 Auslassung der Analyse, die dazu gefiihrt hat. 



In dem Falle, wo das aus der Annahme A abgelei- 

 tete Resultat falsch 1st, kann man dagegen unmittelbar 

 schliessen, dass auch A falsch 1st. Dies, oder, wenn A 

 und B zwei Behauptungen sind, von welchen notwendig 

 die eine richtig sein muss, die Behauptung, dass B rich- 

 tig ist, kann man also als Theorem auistellen und den 

 Beweis dadurch fiihren, dass die Annahme, B unrichtig 

 oder A richtig, zu dem unrichtigen Resultat K fiihren 

 wiirde. Ein solcher antithetischer Beweis ist apagogisch, 

 also eigentlich analytisch. Da er indessen voile Sicher- 

 heit dafiir gewahrt, dass die Behauptung B richtig ist, so 

 wircl er vielfach in Schrif ten gebraucht, in denen die Dar 

 stellung sonst synthetisch ist, haufig z. B. in Euklids 

 Elementen. Die antithetische Beweisform &quot;wurde auch 

 von Dinostratus auf die Quadratrix angewandt (S. 77) 

 und wird, wie wir sehen werden, immer im Exhaustions- 

 beweise benutzt. 



Ein Beispiel dafiir, dass ein Theorem nicht aus einer 

 Analyse des versuchsweise aufgestellten Theoremes selbst 

 oder dessen Umkehrung hervorzugehen braucht, sondern 

 aus der Analyse eines damit verbundenen Problemes, 

 hatten wir dagegen in dem Theorem, das ausgeschaltet 

 wurde, als wir oben versuchten die elliptische Fliichen- 

 anlegung in zu grosser Allgemeinheit aufzustellen, dass 

 namlich ein Rechteck, das so an eine Strecke angelegt 

 wird, dass ein Quadrat t ehlt, nicht grosser ist als das 

 Quadrat liber der halben Strecke. Der synthetische Be 

 weis fur den etwas allgemeineren Satz bei Euklid VI, 27 

 wird in Ubereinstimmung mit jener Analyse (S. 99) gefiihrt. 



