

13. Uberblick iiber Euklids Elemente. 109 



flucht zu einer Proportionslebre nehmen musste, die nur 

 auf der Lehre von rationalen Grossen aufgebaut war, so 

 kam es nicht sonderlich darauf an, ob sie etwas friiher 

 oder spater benutzt wurde. Euklid dagegen kannte Eu- 

 doxus Lehre von den Proportioned Diese war indessen 

 zu neu, als dass sie ihren Platz am Anfange des Systemes 

 hatte bekommen konnen, und musste deshalb bis zum 

 5ten Buch aufgeschoben werden. Vorher musste also jede, 

 offene oder versteckte, Benutzung der Proportionen und 

 der Ahnlichkeit absolut vermieden werden. Es liegt z. B. 

 nahe anzunehmen, dass es gerade diese Riicksicht war, 

 die Euklid wie friiher beriihrt - - dazu zwang, den 

 Beweis fur den pythagoreischen Lehrsatz zu erdenken, der 

 sich am Schlusse seines ersten Buches findet. Um es 

 verstandlich zu machen, dass es iiberhaupt moglich war 

 so weit ohne Proportionen zu gelangen, will ich daran 

 erinnern, dass mit Hiilfe der geometrischen Algebra die 

 Satze iiber die Potenz eines Punktes mit Bezug auf e.inen 

 Kreis (III, 35 37) bewiesen. worden waren. Diese Satze 

 werden benutzt um ein gleichschenkeliges Dreieck zu kon- 

 struieren, in dem der Winkel an der Spitze halb so gross 

 ist wie ein Winkel an der Grundlinie (IV, 10); die Grund- 

 linie ist dann Seite eines regelmassigen Fiinfecks, das 

 denselben umbeschriebenen Kreis hat wie dieses Dreieck 

 (IV, 11). 



Im 5ten Buch wird dann die Proportionslehre des 

 Eudoxus dargestellt, und im 6ten Buch deren Anwen- 

 dungen nicht nur auf die Geometrie, sondern, wie wir 

 sehen werden, auch auf die Erweiterung der geometrischen 

 Algebra. Die Konstruktion der mittleren Proportionale 

 und die stetige Teilung einer Strecke, die im 2ten Buche 

 in einer anderen Form mit Hiilfe der geometrischen Alge 

 bra erhalteii waren, kommen hier wieder vor, aber dies- 

 mal mit Hiilfe der Proportionen abgeleitet, namlich in 



