110 Die griechische Mathematik: 



VI, 13 und 30. Wie viele von den einzelnen Satzen uncl 

 Beweisen in diesen Buchern von Eudoxus herriihren, 

 und wie viele Miner mit einer weniger entwickelten Lehre 

 von den Proportionen verkntipft waren, wissen wir nicht. 

 Euklid gebiihrt sicher die Ehre dafiir, alles zu einem 

 systematischen Ganzen verarbeitet zu haben. 



In dieses Ganze hat er jedoch nicht die specielle 

 Lehre von ration alen Grossen und den ganzen Zahlen, 

 durch deren Verhaltnisse sie ausgedriickt werden, hinein- 

 gearbeitet. Diese wird im 7ten bis 9ten Buch dargestellt, 

 folgt also wohl auf die allgemeine Lehre von den Pro 

 portionen, ist aber nicht auf diese aufgebaut. Die Beweise 

 sind wahrscheinlich dieselben, die man vor Eudoxus 

 Zeit benutzt hat, und von denen die Resultate damals 

 auch auf irrationale Grossen iibertragen wurden. 



Die irrationalen Grossen selbst werden im lOten Buch 

 behandelt. Hier findet sich diejenige Klassifikation von 

 ihnen, die Theatet begonnen hatte (vergl. S. 57), die aber 

 von Euklid vollendet worden sein soil. Hier und bei 

 der Anwendung der Klassifikation auf die Bestimmung 

 der Stiicke der regularen Polyeder findet sich wohl Eiv 

 klids bedeutendste personliche Arbeit. 



Vor dieser Anwendung ist es jedoch notig die ele- 

 mentare Stereometric zu entwickeln. Das geschieht im 

 llten Buch. Die Berechnung des Volumens der Pyramide 

 verlangt infinites imale Grenzbestimmungen ; diese gewinnt 

 man, wenn sie auch formell umgangen werden, durch 

 den Exhaustionsbeweis von Eudoxus, der dafiir im 

 12ten Buch verwandt wird, nachdem er zuerst zu der 

 zweiten in der elementaren Geometric notwendigen Grenz- 

 bestimmung benutzt worden ist: zu dem Beweise dafiir, 

 &amp;lt;lass zwei Kreise sich wie die Quadrate iiber ihren Durch- 

 messern verhalten. Erst im I3ten Buch kommt die Be 

 stimmung der Stiicke der regularen Polyeder. 



