14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 119 



der Kreis geteilt wird, beweisen lasst. Vielleicht hat ein 

 spaterer Herausgeber ihn in die Definition hineingeschoben, 

 weil er sich in der That in keinem Lehrsatz bei Euklid 

 findet. 



Euklids Definition eines Winkels ist an sich bei- 

 nahe ebenso leer wie die Definition der geraden Linie. 

 Dem wird jedoch abgeholfen durch die Axiome, in denen 

 allgemeine Kennzeichen dafiir aufgestellt werden, ob eine 

 geometrische Grosse grosser, gleich, oder kleiner ist als 

 eine andere derselben Art. Diese Kennzeichen lassen sich 

 namlich auch auf Winkel anwenden, und da es sich zu- 

 gleich zeigt, dass Winkel addiert werden konnen, so er- 

 halten sie dadurch wohl definierte Grossen (vergl. im 

 Folgenden S. 127). Im iibrigen sei bemerkt, dass die 

 urspriingliche Definition des Winkels auch anwendbar ist 

 auf Winkel zwischen krummen Linien. Benutzt wird 

 dieser Begrifr 1 in III, 16, wo gezeigt wird, dass die Senk- 

 rechte auf dem Durchmesser in einem Punkte der Kreis- 

 peripherie einen kleineren Winkel mit dem Kreise bildet 

 oder ihm naher kommt als jede andere gerade Linie. 



Die Postulate, die Euklid im ersten Buche auf- 

 stellt, sind nach der neuesten und zuverlassigsten Text- 

 revision 1 folgende: 



1. Eine gerade Linie von einem Punkte bis zu einem 

 anderen zu ziehen. 



2. Eine begrenzte gerade Linie unbegrenzt zu ver- 

 langern. 



3. Einen Kreis mit gegebenem Mittelpunkt und ge- 

 gebenein Radius zu beschreiben. 



4. Alle rechten Winkel sind unter sich gleich. 



1 Euclidis Elementa; edidit et latine interpretatus est 

 J. L. Heiberg. Lipsiae 188388, 8. 



