120 Die griechische Mathematik: 



5. Wenn eine gerade Linie, die zwei andere gerade 

 Linien schneidet, auf derselben Seite innere Winkel bildet, 

 die zusammen kleiner als zwei Rechte sind, so werden 

 die letzgenannten beiden Linien bei der Verlangerung bis 

 ins Unendliche sich auf der Seite schneiclen, wo die Winkel- 

 summe kleiner als zwei Rechte ist. 



Die Konstruktionen, aus denen sich alle iibrigen nach 

 diesen Postulaten sollen zusammensetzen lassen, sind die- 

 jenigen, die praktisch durch Zirkel mid Lineal ausgefiihrt 

 werden. Indessen wiirde es irrefiihrend sein, nur dies 

 einseitig festhalten zu wollen. Das zeigt sich unter ande- 

 rem dadurch, dass dann kein rechter Platz mehr bleiben 

 wiirde fiir die beiden letzten Postulate, weshalb denn auch 

 bereits sehr friihe Herausgeber sich haben verleiten lassen 

 diese unter die Axiome zu versetzen. 



Wie man sieht, werden Lineal und Zirkel gar nicht 

 genannt. Durch ihre Benutzung wiirde man ja auch nur 

 ein unvollstandiges Bild von der mathematischen geraden 

 Linie und dem mathematischen Kreise geben. Selbst die 

 drei ersten Postulaten geben, wie wir bereits iiber Euklids 

 Voraussetzungen iiberhaupt gesagt haben, gar keine Auf- 

 klarung dariiber, von wo aus oder durch welche Mittel 

 man das zustande bringt, was man vorausgesetzt haben 

 will. In tibereinstimmung damit, dass die Probleme der 

 Alten im wesentlichen Satze iiber die Existenz, und ihre 

 Losungen Beweise fiir die Existenz des Behandelten oder 

 Gesuchten sind, sind die Postulate Behauptungen iiber 

 dessen Existenz, deren Anerkennung ohne Beweis oder 

 Nachweis verlangt wird. Die Behauptungen, die in den 

 drei ersten Postulaten enthalten sind, wollen dann nur 

 sagen, dass es eine gerade Linie durch zwei beliebige ge- 

 gebene Punkte giebt, dass diese ohne Grenze verlangert 

 werden kann, und dass es einen Kreis giebt mit einem 

 beliebigen gegebenen Mittelpunkt und einem beliebigen 



