14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 121 



gegebenen, von diesern ausgehenden Radius, oder mit 

 anderen Worten einen Kreis, der einen gegebenen Mittel- 

 punkt hat und durch einen gegebenen Punkt geht. Dass 

 das dritte Postulat wirklich so zu verstehen ist und nicht 

 etwa verlangt, dass die Existenz eines Kreises mit gegebe- 

 nem Mittelpunkt und einem an einer Stelle der Ebene 

 gegebenen Radius ohne Beweis eingeraumt werde, ergiebt 

 sich sofort daraus, dass Euklid im 2ten Satze zeigt, dass 

 die Bestimmung eines solchen Kreises mit Hulfe der im 

 ersten Satze mitgeteilten Konstruktion eines gleichseitigen 

 Dreiecks sich aus den postulierten Konstruktionen zu- 

 sammensetzen lasst. Da dies sich wirklich thun lasst, 

 so hat Euklid durch die angefuhrte Einschrankung des 

 3ten Postulates nur die bereits genannte Pflicht erfiillt 

 nicht zuviel vorauszusetzen. Ware dagegen nur die 

 Rede von der praktischen Ausfiihrung mittels des Zirkels, 

 so ware die Lage des gegebenen Radius gleichgultig ge- 

 wesen, und man darf wohl sagen, dass der im 2ten Satze 

 angegebene Weg nicht fur die praktische Ausfiihrung von 

 Zeichnungen bestimmt gewesen ist. 



Bei dieser Auffassung von der Bedeutung der Postu 

 late ist es offenbar, dass es nicht geniigt, die Existenz 

 der auf die einfachste Weise bestimmten geraden Linien 

 und Kreise zu postulieren. Die geometrischen Konstruk 

 tionen werden dadurch ausgefiihrt, dass man mittels des 

 Durchschnittes verschiedener Linien Punkte bestimmt, die 

 wieder zur Bestimmung von neuen Linien benutzt werden 

 konnen. Dann muss die Existenz der Schnittpunkte eben- 

 sowohl wie diejenige der Linien postuliert werden, denn 

 sie kann unmoglich eine Folge dieser letzteren sein. Im 

 5ten Postulat wircl es deshalb ausdrucklich als eine neue 

 Voraussetzung aufgestellt, dass zwei gerade Linien sich 

 schneiden, wobei jedoch die Einschrankung gemacht wer 

 den muss, die notwendig ist, damit die Behauptung wirk- 



