14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 123 



geht, diesen anderen Kreis schneidet. Dass er sich auf 

 diese Voraussetzungen stiitzt, geht aus den betreffenden 

 Sldlen hervor, und an anderen Stellen wird nichts iiber da&amp;gt; 

 Durchschneiden zwischen Kreis und gerader Linie oder Kreis 

 vorausgesetzt, bevor das dazu eri onlerlicln; bowiesen ist. 



Enthalten die von Euklid ausdrucklich aufgestellten 

 Voraussetzungen denn gar nichts iilx-r di&amp;lt;:se faktiselien 

 Voraussetzungen, deren Euklid sich an den angefiihrten 

 Stellen, namentlich in Satz 12, vollkommen bewusst istV 

 Die Postulate thun es jedenfalls nicht, aber, wie wir ge- 

 ,s&amp;lt;-li(jn haben, sind die Unterschiede zwischen Postulaten 

 und Definitionen nicht so ausgepragt, dass man allein 

 zwischen den ersten zu suchon braucht. Dann i;~: 

 klar, dass Euklid die Berechtigung zur Benutzung di&amp;lt; 

 Voraussetzungen darin suchen kann, dass cr in den De 

 finitionen gcsagt hat, ein Kreis sei erne Figur, die den 

 Mittelpunkt enthalt, woraus dann folgen muss, dass eine 

 Krcislinic cine hinreichend verlangerte gerade Linio in 

 zwoi Punkten .sclun-id&amp;lt;-n muss, wenn sie ihren Mittelpunkt 

 auf der einen Seite von dieser Linie hat und duivb &amp;lt;-in&amp;lt;-n 

 Punkt auf der anderen Seite geht, und ebenso eine andere 

 Kreislinie, wenn sie einen ausserhalb liegenden Punkt mit 

 einem inneren verbindet. Im iibrigen sei bemerkt, dass 

 man auf ahnliche Weise in gewissen Fallen das Durch- 

 echneiden gerader Linien ohne Benutzung des 5ten Postu 

 lates boweisen kann, wenn man beriicksichtigt, dass die 

 Umfange von Polygonen auch Flachen abgrenzen, die keine 

 unendliche Ausdehnung haben. Davon macht Euklid in 

 I, 21 Gebrauch. 



Noch fehlt uns eine Erklarung dafiir, wie die Be- 

 liaiiptung, dass alle rechten Winkel gleich gross sind, iliron 

 Platz unter den Postulaten erhalten kann. Aus den Axiornen 

 gel it hervor, dass alle Winkel gleich gross sind, wenn sie 

 kongruent sind, sonst nicht, und die Behauptung ist al.-&amp;lt;- 



