124 Die griechische Mathematik: 



genau dieselbe wie die andere, dass alle rechten Winkel 

 kongruent sind. Da ein rechter Winkel (in Def. 10) als 

 solcher definiert wird, der seinem Nebenwinkel gleich ist, 

 so lauft das Postulat darauf hinaus, dass der Winkel, 

 den wir jetzt einen gestreckten nennen, eine bestimmte 

 Grosse hat, oder dass die Verlangerung einer gegebenen 

 geraden Linie iiber den einen Endpunkt hinaus eindeutig 

 bestimmt ist. Eine voile Bestatigung daflir, dass dies ge- 

 meint ist, erhalt man, wenn man sieht, dass das Postulat 

 gerade auf diese Weise faktisch angewandt wird; das ge- 

 schieht im Beweise fiir den Satz I, 14. 



Das 4te Postulat wird also ein Zusatz zum 2 ten, dass 

 namlich die in diesem enthaltene Bestimmung der Ver 

 langerung einer geraden Linie eindeutig ist, und es hat 

 wohl zunachst deswegen seinen Platz unter den Postulaten 

 und nicht unter den Axiomen erhalten. Das Postulat 

 wurde nicht vermisst werden von einem modernen Leser, 

 der gewohnt ist, dass auf die Anzahl der Losungen Riick- 

 sicht genommen wird, und sich deshalb zunachst denken 

 wiirde, dass die Eindeutigkeit bereits im 2ten Postulat 

 mit unterverstanden ist. Wenn es nun doch einmal da- 

 steht, so vermisst man ein anderes Postulat, welches aus- 

 driickt, dass auch die in dem ersten Postulat gegebene 

 Bestimmung einer geraden Linie eindeutig ist. Von dieser 

 Eindeutigkeit macht Euklid ausdriicklich Gebrauch in 

 Satz I, 4, wo er in seiner Beweisfiihrung das Argument 

 gebraucht, dass zwei gerade Linien keinen Flachenraum 

 einschliessen konnen ; aber diese Behauptung, die durch- 

 aus zusammenfallt mit derjenigen, dass das erste Postulat 

 eindeutig ist, findet sich nicht unter den aufgestellten 

 Voraussetzungen. Hier liegt unzweifelhaft eine Inkonse- 

 quenz vor. Auf diese ist man schon im Altertum auf- 

 merksam geworden und sie hat die Herausgeber veranlasst, 

 die in I, 4 ausdriicklich benutzte Voraussetzung entweder 



