14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 125 



und wahrscheinlich am friihesten - - unter die Postu 

 late aufzunehmen, wohin sie mit demselben Recht gehort 

 wie das Postulat I, 4, oder unter die Axiome. Dieses 

 neue Postulat driickt zugleich aus, dass die Bestimmung 

 eines Punktes mittels des 5ten Postulates als Schnittpunkt 

 zwischen zwei Geraden eindeutig ist. 



Die Eindeutigkeit des 3 ten Postulates iiber die Be 

 stimmung eines Kreises durch Mittelpunkt und Radius 

 braucht man dagegen nicht vorauszusetzen. Man kann 

 hier namlich wieder davon Gebrauch machen, dass der 

 Kreis bereits in den Definitionen vollstandiger bestimmt 

 ist als die gerade Linie. Dadurch ist Euklid imstande 

 in den Satzen III, 5 und 6 zu beweisen, dass koncentrische 

 Kreise sich nicht schneiden oder beruhren konnen, dass 

 also der vollstandige geometrische Ort fur die Punkte, 

 die denselben Abstand von einern gegebenen Punkte haben 

 wie ein anderer Punkt, nur aus einer geschlossenen Kurve 

 besteht, mit anderen Worten, dass das 3te Postulat nur 

 ein en Kreis giebt. 



Euklids Istes, 2tes, 4tes und 5tes Postulat, erganzt 

 durch die in Salz I, 4 benutzte Voraussetzung, dass das 

 erste Postulat eine eindeutige Bestimmung geben soil, und, 

 wie wir sehen werden, durch eine im 7ten Axiome ent- 

 haltene Voraussetzung, drucken alle Eigenschaften einer 

 geraden Linie aus, welche ihrer Verwendung in der Geo 

 metric zu Grande liegen. Unvermerkt, ja, wie wir sehen 

 werden, ohne es selbst gewahr worden zu sein, hat Eu 

 klid damit indes gleichzeitig die Grundeigenschaften der 

 Ebene aufgestellt erhalten. Die ausdriicklich aufgestellte 

 Definition der Ebene (I, 7) ist an sich ebenso nichtssagend 

 wie diejenige der geraden Linie. Die Ebene wird noch 

 in den Definitionen I, 8 und 15 genannt, wo ausgespro- 

 chen wird, dass die Schenkel eines Winkels in derselben 

 Ebene liegen miissen, und dass der Kreis eine ebene 



