126 Die griechische Mathematik : 



Figur 1st. Von grosserer Bedeutung 1st es, dass in den 

 aufgestellten Postulaten stillschweigend vorausgesetzt wird, 

 dass die verschiedenen Bestimmungen innerhalb einer und 

 derselben Ebene stattfinden. Ohne dieses wiirde das 5te 

 Postulat geradezu sinnlos sein. Die Eigenschaft, die nament- 

 lich durch das erste mid zweite Axiom einer Ebene bei- 

 gelegt wird, wird nun die, dass sie jede gerade Lime, die 

 durch zwei ihrer Punkte geht, nebst ihren Verlangerungen 

 bis ins Unendliche ganz enthalt. Hatte Euklid selbst 

 dies ausdriicklich festgestellt, so hatte er darin eine wirk- 

 liche Grundlage erhalten konnen fur die drei ersten Satze 

 des llten Buches, die aussagen, dass eine gerade Linie, 

 die teilweise in einer Ebene liegt, nicht aus dieser heraus- 

 gehen kann, dass zwei gerade Linien, die sich schneiden, 

 in einer Ebene liegen (und sie bestimmen), und dass die 

 Durchschnittslinie zweier Ebenen gerade ist. Nun stellt 

 er einige andere Beweise auf, von denen der fiir XI, 1 

 die Richtigkeit von XI, 2 voraussetzen muss, xier um- 

 gekehrt wieder auf XI, 1 aufgebaut ist. In logischer Be- 

 ziehung, sowohl principiell wie formell, steht Euklid s 

 Behandlung der Stereometrie im ganzen hinter seiner 

 ebenen Geometrie zuriick, wofur wir ein noch wichtigeres 

 Beispiel bei der Besprechung seiner Axiome sehen werden. 

 Indessen wird sich zeigen, dass die griechischen Mathe- 

 matiker trotz dieses Mangels die stereometrischen Satze 

 und Operationen dennoch in einem recht bedeutenden 

 Umfange kannten. 



Wahrend wir bei Definitionen und Postulaten, 

 um genaue Auskunft liber die Voraussetzungen zu erhal 

 ten, die sie ausdriicken sollen, zum Teil unsere Zuflucht 

 zu den Anwendungen haben nehmen miissen, die Euklid 

 in seinen Satzen faktisch von ihnen gemacht hat, so geben 

 diejenigen Axiome des ersten Buches, deren Achtheit fiir 



