14 Euklids geometrische Voraussetzungen. 127 



unzweifelhaft angesehen wird und mit denen wir uns 

 deshalb ausschliesslich beschaftigen wollen, namlich 1 3 

 und 7 8 1 , eine ebenso kurze wie klare Auskunft iiber 

 die Grundlage fiir die Anwendung der Begriffe Gleichheit 



ind Ungleichheit auf Grossen im allgenieinen, und auf 

 letrische Grossen im besonderen. Der erste Beitrag 

 Begriffe Gleichheit wird im Axiom 1 gegeben: Grossen, 



lie einer und derselben Grosse gleich sind, sind unter 

 sich gleich. Der Umstand, dass das Wort gleich in 

 der Erklarung des Begriffes Gleichheit vorkommt, macht 

 diese Erklarung nicht wertlos, was unter anderem daraus 

 ersichtlich ist, dass man nicht in der im Axiome ent- 

 haltenen Erklarung ungleich an die Stelle von gleich 

 setzen kann. Sie ist indessen nicht ausreichend um einen 

 anwendbaren Grossenbegriff geben zu konnen. Es muss 

 hinzugenommen werden, dass eine Grosse nicht verandert 

 wird durch Teilung und eine darauf folgende Zusammen- 

 setzung aus alien Teilen. Dies ist in den Axiomen 2 

 und 3 enthalten, die aussagen, dass Gleiches, um Glei- 

 ches vermehrt oder vermindert, Gleiches giebt. Ferner 

 muss, wenn man auch die Ungleichheit berucksichtigen 

 will, hinzugenommen werden, dass man etwas Kleineres 

 erhalt, wenn man nicht alle Teile mitnimmt; das wird 

 im Axiom 8 ausgesagt: das Ganze ist grosser als ein 

 Teil. Hierdurch ist auch eine Erklarung von Addition 

 und Subtraktion allgemeiner Grossen gegeben, und zu- 

 gleich ist darin enthalten, dass die Reihenfolge der Sum- 

 manden gleichgultig ist. Wenn der Grossenbegriff: in einer 

 modernen Arithmetik 2 so definiert wird, dass von den- 

 jenigen Eigenschaften der Gegenstande, die sich nicht 



1 Euclidis Elementa ed. Heiberg, Lipsiae 188388. 



2 Julius Petersen, Arithmetik og Algebra til Skolebrug, 

 Kjebenhavn 1879, S. 3. 



