128 Die griechische Mathematik: 



verandern, wenn ihre Teile in verschiedener Reihenfolge 

 zusammengesetzt werden, sich aber verandern, wenn einige 

 der Teile fortgenommen werden, gesagt wird, sie besassen 

 Grosse , so stimmt diese Definition durchaus zu den an- 

 gefiihrten Axiomen, die sogar den Vorzug haben etwas 

 direkter zu erklaren, was gleich, grosser oder kleiner ist. 



Dieser allgemeine Grossenbegriff muss durch beson- 

 dere Kenuzeichen erganzt werden, die seine Anwendung 

 ermoglichen sowohl auf bestimmte Arten von Grossen, 

 wie geometrische Grossen, Gewichte u. s. w., als auch 

 auf rein abstrakte Zahlengrossen. Euklid, fiir den die 

 geometrische Grosse zur abstrakten Grosse wird, da sie 

 in der geometrischen Algebra zur Darstellung von Grossen 

 jeder Art, auch von Zahlen, dient, muss zuallererst Kenn- 

 zeichen fiir die Gleichheit geometrischer Grossen 

 geben; das geschieht im 7ten Axiom zum ersten Buch, 

 von dem wir jetzt gleich reden wollen. Erst im 5ten 

 Buche wird eine unmittelbare Darstellung abstrakter Grossen 

 als Verhaltnisse gegeben und ausserdem Kennzeichen 

 fiir ihre Gleichheit und Ungleichheit. Die Verhaltnisse 

 zur Einheit sind Zahlen in der modernen und allgemei- 

 nen Bedeutung dieses Wortes. Die Einheit wird jedoch 

 erst im 7ten Buch eingefiihrt und dann nur als Maass 

 fiir damit kornmensurable Grossen angewandt. Die dazu 

 dienenden Voraussetzungen werden wir im Zusamrnenhang 

 mit dem iibrigen Inhalt dieser Biicher besprechen. 



Im 7ten Axiom des ersten Buches, zu dem wir nun- 

 mehr nach diesem Ausblick auf andere Grossenbestim- 

 mungen als die geometrische zuriickkehren, wird aus- 

 gesprochen, dass kongruente Grossen oder solche, die sich 

 zur Deckung bringen lassen, gleich sind. Dieses Kenn 

 zeichen fiir geometrische Gleichheit geht ganz natiirlich 

 dem im 8ten Axiome enthaltenen Kennzeichen fiir Un 

 gleichheit voran, das keine besondere Erganzung mit Bezug 





