14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 129 



auf die geometrischen Grossen bedarf. Euklid weist im 

 7ten Axiom mit grosser Sicherheit auf das bin, was immer 

 der erste Ausgangspunkt 1 iir jede Untersuchung von Gros 

 sen in der Geometric sein muss. Die Kongruenz ist es 

 bereits beim praktischen Messen, das darin besteht, nach 

 und nach von dem, was gemessen werden soil, eine Reihe 

 von Teilen aufzuzahlen, die dem Maasse kongruent sind. 

 Sie ist es ferner sowohl in Euklids eigenem Lehrgebaude 

 wie in alien folgenden, die geometrische Grosseri behan- 

 deln: man geht davon aus, dass gewisse Grossen gleich 

 sind, weil sie kongruent sind, und ungleich, weil die eine 

 selbst ein Teil der anderen ist oder einem Teile der an- 

 deren kongruent ist. Eben dieses Verfahren wendet Eu 

 klid im ersten Buche an um zu zeigen, wie Gleichheit 

 und Ungleichheit von Seiten oder Winkeln desselben 

 Dreiecks oder verschiedener Dreiecke sich gegenseitig be- 

 dingen. Die Resultate hiervon kombiniert er dann mit 

 den allgemeinen Voraussetzungen iiber Grossen. Ja er 

 ist sogar bestrebt das specifisch geometrische Princip der 

 Kongruenz so wenig wie moglich anzuwenden. So be- 

 nutzt er in I, 26 nicht unmittelbar die Kongruenz um 

 zu beweisen, dass Dreiecke, die in einer Seite und den 

 anliegenden Winkeln ubereinstimmen, es auch in den 

 iibrigen Stiicken thun, sondern er schliesst dies antithetisch 

 aus den friiheren Kongruenzfallen. 



Fiir gerade Linien und Winkel fallt Gleichheit zu- 

 sammen mit Kongruenz. Fiir gebrochene Linien, Flachen- 

 und Rauminhalte kann man dagegen erst, nachdem man 

 Gleichheit durch Kongruenz nachgewiesen hat, Gleichheit 

 ohne Kongruenz nachweisen durch Zusammensetzung nach 

 den allgemeinen Voraussetzungen iiber Grossen, wie es 

 beispielsweise in I, 35 geschieht, wo bewiesen wird, dass 

 Parallelogramme von derselben Grundlinie und Hohe 

 gleich sind. Zu der Grosse krummer Linien und der 





