130 Die griechische Mathematik: 



Flachen, die von solchen begrenzt werden, sowie zu der 

 ( Jr&amp;lt; &quot;sse der meisten Rauminhalte kann man nur durch 

 Grenziibergange gelangen, die von den Alien durch den 

 Kxhaustionsbeweis ausgefiihrt wurden, und die zum Teil 

 zugleich die Aufstellung neuer Voraussetzungen verlangen. 

 Das werden wir sehen, wenn wir dazu gelangen Euklids 

 12tes Buch, sowie die Arbeiten von Archimedes zu be- 

 sprechen. 



Dagegen mussen wir sogleich erwahnen, dass die 

 Art und Weise, wie Euklid in der Stereometric das im 

 7ten Axiom aufgestellte Kongruenzaxiom benutzt, mit 

 einem sehr wesentlichen Mangel behaftet ist. Dieser 

 hangt damit zusammen, dass man in seiner Stereometric 

 jedes Unterscheiden zwischen Kongruenz und 

 Symmetric vermisst, lasst aber doch erkennen, dass er 

 symmetrische Figuren nicht fur kongment halt. Denn 

 in solchem Falle wiirde er gemeint haben im 7ten Axiom 

 cine ausreichende Grundlage fiir Volumenbestimmungen 

 zu besitzen. Statt dessen stellt er eine neue Vorausset- 

 zung auf, die sowohl auf kongruente wie auf symmetrische 

 Figuren passen kann. In der lOten Definition des llten 

 Buchs werden gleiche und ahnliche Raumfiguren als 

 solche definiert, die von gleichvielen gleichen und ahn- 

 lichen (d. h. kongruenten) ebenen Figuren eingeschlossen 

 wi-rden. Diese Definition enthalt ausser einer Namen- 

 gebung zugleich eine geometrische Voraussetzung, also ein 

 Axiom, dass namlich diese Figuren auch gleich an Raui 

 inhalt sein sollen 1 . Das wird in XI, 29 benutzt, 

 bewiesen wird, dass Parallelepipeda von derselben Gram 

 flache und Hohe gleich sind, und ausserdem wird daraus 

 in XI, 28 geschlossen, dass die beiden dreiseitigen Prismen, 



1 Gauchy hat bewiesen, dass derartige Figuren wirklich 

 immer kongruent oder symmetrisch sind. 



