132 Die griechische Mathematik: 



15, Anmerkung tiber die Voraussetzungen 

 der Geometrie, 



Wenn man die zuletztgenannte Eigenschaft der geraden Linie 

 mil denjenigen kombiniert, die bereits in den Postulaten ausgedriickt 

 sind, die Eindeutigkeit der Bestimmung durch zwei Punkte mit- 

 einbegriffen, so wird die gerade Linie als solche definiert, die ihrer 

 ganzen Ausdehnung nach mit einer anderen geraden Linie zusam- 

 menfallt, wenn sie so verlegt wird, dass zwei ihrer Punkte mit 

 zweien der anderen Geraden zusammenfallen. Dass diese Defini 

 tion keinen Kreisschluss enthalt, obgleich die gerade Linie durch 

 Zusammenlegen mit einer anderen geraden Linie bestimmt wird, 

 erkennt man daraus, dass keine andere Linie diese Eigenschaft 

 besitzt. Dagegen ist das Axiom von der Moglichkeit einer Ver- 

 legung vorausgesetzt. Nach der Definition erhalt man die gerade 

 Linie als geometrischen Ort fur die festen Punkte eines Korpers, 

 der sich dreht, wahrend zwei Punkte fest liegen. Die Konstruktion 

 gerader Linien durch ein Lineal, also durch eine bewegliche gerade 

 Linie, folgt gleichfalls aus der Definition. 



Diese Definition findet sich nun allerdings nicht bei Euklid, 

 sondern sie ist eine Zusammenfassung der Eigenschaften, die er 

 faktisch benutzt, und die er nach und nach in Postulaten und 

 Axiomen aufstellt. Diese bestimmen demnachst die Ebene als eine 

 Flache, die jede Gerade, die durch zwei von ihren Punkten geht, 

 ganz enthalt. Diese Bestimmung enthalt indessen mehr. als eine 

 gute Definition enthalten darf, da sie die Ebene weder als geome 

 trischen Ort fur eine einfach unendliche Anzahl gerader Linien, 

 noch fur eine doppelt unendliche Anzahl von Punkten bestimmt. 

 Man kann jedoch die Bestimmung in eine Definition und in ein 

 Axiom oder Postulat zerlegen. Die Ebene muss dann zuerst definiert 

 werden als der Ort fur die Geraden, die einen festen Punkt mit 

 den Punkten einer festen Geraden verbinden, und demnachst muss 

 als unbeweisbare, aber fur das geometrische Lehrgebaude notwen- 

 dige Voraussetzung hinzugefiigt werden, dass diese Flache dann 

 die oben erwahnte allgemeine Eigenschaft hat. 



Uber diese Schwierigkeit kommt man dadurch nicht hinweg, 

 dass man, wie es auch wohl geschehen ist, die Ebene definiert als 

 geometrischen Ort fur die Punkte, die gleichen Abstand von zwei 

 festen Punkten haben. Es gelingt dann wohl in der Stereometric 





