15. Anmerkung iiber die Voraussetzungen der Geometrie. 133 



zu beweisen, dass die so defmierte Ebene in der That jede Gerade 

 enthalt, von der sie zwei Punkte enthalt, aber es gelingt das nur 

 auf der Grundlage der ebenen Geometrie, in der man bereits diese 

 Voraussetzung iiber die Ebene, die alle behandelten Figuren ent 

 halt, gemacht hat. 



Mit Bezug auf die Ebene wird noch eine Voraussetzung ge 

 macht, die sich nicht aus der hier aufgestellten Definition ableiten 

 lasst, namlich die, welche im 5ten Postulat enthalten ist, dass 

 abgesehen von einem genauer bezeichneten Fall zwei Geraden 

 derselben Ebene sich schneiden. 



Wie wir erwahnt haben, macht Euklid, wenn er es auch 

 nicht so deutlich hervorhebt, noch eine geometrische Voraussetzung, 

 die auch geradlinige Figuren betrifft, namlich die, dass eine in sich 

 selbst zuriicklaufende (gebrochene oder krumme) Linie der Ebene 

 einen endlichen Flachenraum einschliesst, und dass sie von jeder 

 geraden oder in sich selbst zuriicklaufenden Linie, die einen ausser- 

 halb und einen innerhalb liegenden Punkt verbindet, in wenigstens 

 zwei Punkten geschnitten wird Ahnliche Voraussetzungen schlies- 

 sen sich an die geschlossenen Flachen an; sie spielen aber erst 

 eine Rolle, wenn man weiter geht als Euklid. 



Die geometrischen Voraussetzungen, die Euklid benutzt, sind 

 also folgende: 1) das Verlegungsaxiom, 2) und 3) die beiden an- 

 gefuhrten Voraussetzungen iiber eine Ebene, 4) die Voraussetzung 

 (S. 123) iiber geschlossene Konturen (und Oberflachen). In den 

 wesentlichsten Punkten beriihrt er diese in seinen Definitionen, 

 Postulaten und Axiomen, die ausserdem Erklarungen der gebrauch- 

 ten Benennungen, und endlich in den Axiomen 1 3 und 8 klar 

 ausgesprochene Voraussetzungen iiber die allgemeine Grossenlehre 

 enthalten. Diese letzteren geben nicht nur Worterklarungen, sondern 

 sprechen zugleich die fur den Aufbau einer wirklichen Grossenlehre 

 notwendige Voraussetzung aus iiber Unveranderlichkeit und Ver- 

 anderlichkeit der Grossen durch Teilung, auf die eine Zusammen- 

 setzung aus alien oder aus einigen Teilen folgt. 



Die deutliche Weise, in der die wichtigsten geometrischen 

 Voraussetzungen also bei Euklid hervortreten, hat die in seinen 

 Elementen aufgestellte Grundlage der Geometrie zu einem guten 

 Ausgangspunkt gemacht fur die Untersuchungen der neueren Zeit 

 iiber den Bereich der einzelnen Voraussetzungen und 

 iiber ihre gegenseitige Unabhangigkeit. Insofern sie wirk- 

 lich unter einander unabhangig sind, muss man namlich einige von 



