134 Die griechische Mathematik: 



ihnen festhalten und aus ihnen allein Konsequenzen ziehen kon- 

 nen, wahrend man andere unbeachtet lasst. Dadurch erhalt man 

 eine Verallgemeinerung der Geometrie; denn die Satze, welche man 

 dann beweist, gelten sowohl fur den Raum, der zugleich den 

 iibrigen Voraussetzungen geniigt, als auch fur solche Raume, die 

 es nicht thun. Sie konnen auch in dem durch Euklids Voraus 

 setzungen definierten Raum eine derartige weitergehende Anwendung 

 finden, dass beispielsweise gerade Linien mil Kurven vertauscht 

 werden, die durch einige Eigenschaften der gewohnlichen geraden 

 Linie charakterisiert werden, so dass ausser dieser auch andere 

 Linien darin einbegriffen sind. 



Die wichtigste dieser Verallgemeinerungen, die projekti- 

 vische Geometrie, ist jedoch nicht eigentlich durch Spekula- 

 tionen iiber die Axiome entstanden. Ihre meisten Satze sind aus 

 Verallgemeinerungen hervorgegangen. die sich innerhalb der auf 

 alien Voraussetzungen Euklids aufgebauten Geometrie als zweck- 

 massig erwiesen haben. In Wirklichkeit setzt sie sich jedoch iiber 

 einige von diesen Voraussetzungen hinweg, und deshalb kann sie 

 auch von Anfang an ohne diese aufgefiihrt werden. Dasjenige, 

 von dem man in der projektivischen Geometrie absieht, ist das 

 Verlegungsaxiom und die darauf gegriindete Lehre von geome- 

 trischen Grossen, und dadurch kommt man auch nicht dazu 

 - wenigstens so lange die projektivische Geometrie sich nicht 

 selbst einen neuen Begriff von Verlegung und dadurch einen neuen 

 Grossenbegriff bildet die durch Euklids iibrigen Axiome fest- 

 gelegten allgemeinen Grossenbegriffe zu benutzen. Berucksichtigt 

 werden dagegen die in den Postulaten enthaltenen Voraus 

 setzungen, wobei jedoch von den Entlehnungen abzusehen ist, 

 die auch darin aus der Grossenlehre gemacht sind. Dadurch fallt 

 einmal das dritte Postulat iiber die Bestimmung des Kreises ganz 

 fort, da der Kreis im voraus dadurch definiert ist, dass sein Radius 

 eine unveranderliche Grosse haben soil, und zweitens fallen die 

 Einschrankungen beim 5ten Postulat fort, so dass dieses folgenden 

 Wortlaut enthalt: zwei Geraden derselben Ebene schneiden sich 

 immer in einem Punkte. Den direkten Widerspruch mit derjenigen 

 Geometrie, in der alle euklidischen Voraussetzungen benutzt werden, 

 oder mit der euklidischen Geometrie vermeidet man da 

 durch, dass man den parallelen Geraden der letzteren unendlich 

 feme Schnittpunkte beilegt. Dadurch dass sie iiberhaupt nicht 

 fragt, in wieweit Schnittpunkte unendlich fern sind oder nicht, ge- 



