15. Anmerkung uber die Voraussetzungen der Geometrie. 135 



langt die projektivische Geometrie dahin, sowohl die euklidische 

 als auch die im Folgenden erwahnte nicht-euklidische Geometrie 

 in sich zu begreifen. 



Die gerade Linie erhalt in der projektivischen Geometrie die- 

 selben Eigenschaften wie in der euklidischen mit Ausnahme der 

 Verlegung, durch die eine gerade Linie zum Zusammenfallen mit 

 einer anderen gebracht wird, und die Eigenschaften der Ebene 

 werden ebenso wie bei Euklid an diejenigen der Geraden an- 

 geschlossen. Die beiden Voraussetzungen, die sich an die Bestim- 

 mung der Ebene kniipften, werden beibehalten. Da man nun nur 

 auf diesen und nicht mehr auf dem Verlegungsaxiom weiter bauen 

 darf, so ist ersichtlich, dass die projektivische Geometrie, wenn sie 

 selbstandig entwickelt wird und man nicht die euklidische Geome 

 trie als im voraus bekannt betrachtet, erst einen wirklichen Inhalt 

 bekommt, wenn man aus einer einzelnen Ebene herausgeht und 

 dadurch dahin gelangen kann diese Voraussetzungen zu benutzen. 

 Was die euklidische Voraussetzung uber geschlossene Kurven be- 

 trifft, so zeigt es sich namlich, dass diese nicht in der Weise von 

 den fortgefallenen Voraussetzungen unabhangig ist, dass sie in der 

 projektivischen Geometrie beibehalten werden kann; im Gegenteil 

 erhalt man in dieser zwei Arten geschlossener Linien in der Ebene, 

 von denen die eine eine Gerade in einer geraden Anzahl von 

 Punkten (oder in keinem) schneidet, die andere in einer ungeraden. 

 Im Gegensatze zu der projektivischen Geometrie ist die so- 

 genannte nicht-euklidische Geometrie gerade durch Spekula- 

 tionen iiber die von Euklid aufgestellten Voraussetzungen ent- 

 standen, namentlich iiber eine einzelne von ihnen, namlich diejenige, 

 die wir im 5ten Postulat getroffen haben. Diese Spekulationen 

 versteht man vielleicht am besten, wenn wir daran erinnern, dass 

 dieses Postulat in den meisten Ausgaben seinen Platz unter den 

 Axiomen gefunden hat, wo es durch Einschiebung von anderen 

 weniger echten Axiomen den Namen Euklids lltes Axiom 

 erhalten hat. Wahrend die Bestimmung eines Punktes als Schnitt- 

 punktes zweier Geraden unter den Postulaten ein natiirliches Gegen- 

 stuck zu der Bestimmung einer Geraden durch zwei Punkte bildete, 

 so musste die daran gekniipfte Begrenzung besondere Aufmerksam- 

 ceit erwecken, wenn man dieselbe Voraussetzung unter den den 

 .ehrsatzen entsprechenden Axiomen traf. Das Axiom, dass zwei 

 Jeraden, deren innere Winkel auf derselben Seite einer schneiden- 

 len dritten eine Snmme kleiner als 2 Rechte bilden, sich auf 



