136 Die griechische Mathematik: 



dieser Seite schneiden, wurde dann ein Gegenstuck zu dem Lehr- 

 satz, dass die Geraden parallel sind, wenn die Summe 2 Rechte 

 betragt. Diesen letzten Satz beweist Euklid in I, 27 und 16 mit 

 Hiilfe der iibrigen Voraussetzungen; lasst sich dann das lite Axiom 

 und der davon abhangige wichtige Satz iiber die Winkelsumme 

 eines Dreiecks nicht auch beweisen? 



Diese Frage hat im Laufe der Zeiten unzahlige Versuche zu 

 Beweisen hervorgerufen. Einige von diesen mogen eine gewisse 

 Berechtigung gehabt haben, insofern sie solche an der e Voraus 

 setzungen, deren Richtigkeit man ebenso bereitwillig von vornherein 

 einraumen wiirde, an die Stelle derjenigen von Euklid setzten. 

 Nur hat man nicht immer, so wie Euklid es thut, selbst aus- 

 gesprochen und eingeraumt, dass man eine Voraussetzung machte. 

 Wir wollen beispielsweise fur das hier erwahnte euklidische 

 Axiom oder fur die damit verbundenen Satze, dass eine gerade 

 Linie eindeutig bestimmt ist, wenn sie durch einen Punkt geht und 

 einer gegebenen Geraden parallel ist, oder dass die Summe der 

 Dreieckswinkel gleich 2 Rechten ist, diejenigen Beweise anfuhren, 

 die den Weg in gute Lehrbiicher aus unserer und der nachst vor- 

 hergehenden Zeit gefunden haben. Von diesen verdankt man die 

 jenigen, die wir unter 2 und 3 auffiihren, dem franzosischen Mathe- 

 matiker Legendre. 



1) Man begniigt sich damit das Axiom zu veranschaulichen und 

 so die Leser zu iiberreden es ebenso anzunehmen, wie sie friiher 

 die iibrigen geometrischen Voraussetzungen angenommen haben. 



2) Man kann den Satz, dass zwei Winkel eines Dreiecks den 

 dritten bestimmen, an die Bestimmung eines Dreiecks aus einer 

 Seite und den beiden anliegenden Winkeln anschliessen. Die Grosse 

 einer einzelnen Seite kann namlich nur den Maassstab fur die ge- 

 zeichnete Figur bestimmen, also keinen Einfluss haben auf die Ge- 

 stalt des Dreiecks, mithin auch nicht auf die Winkel. Die beiden 

 gegebenen Winkel bestimmen also den dritten. Wie man sieht 

 wird der Beweis dadurch gefuhrt, dass man die Vorstellung von 

 Ahnlichkeit oder von einer vom Maassstab unabhangigen Gestalt 

 als geometrische Voraussetzung festsetzt, auf der man bauen will. 

 Das, was hier gethan wird, entspricht ganz dem, was Euklid 

 selbst gethan hat, als er im Verlegungsaxiom die Kongruenz als 

 geornetrisches Grossenprincip festsetzte. 



3) Andere begniigen sich nicht wie Euklid damit, die Grosse 

 eines Winkels mit Hiilfe des Verlegungsprincips zu bestimmen, 



