15. Anmerkung iiber die Voraussetzungen der Geometrie. 137 



sondern sie lassen die Grosse eines Winkels das Verhaltnis sein 

 zwischen dem von den Schenkeln des Winkels eingeschlossenen 

 unendlichen Flachenstuck und der Flache der ganzen Ebene. Wenn 

 man nun durch einen Punkt zwei Parallelen zu einer gegebenen 

 Geraden ziehen konnte, so wiirde die eine ganze von der letzten 

 Geraden abgeschnittene Halbebene, die ja gleich zwei Rechten ist, 

 nur einen Teil ausmachen von einem der vier von den beiden 

 ersten Geraden gebildeten Winkel deren jeder kleiner ist als zwei 

 Rechte. Man sieht leicht, dass die neue Voraussetzung hier in der 

 Winkeldefinition liegt und darauf hinaus lauft, dass das in dieser 

 aufgestellte Verhaltnis zwischen zwei unendlichen Grossen einen 

 bestimmten Wert hat. 



4) Noch andere beweisen, dass die Summe der Aussenwinkel 

 eines Polygons gleich 4 Rechten ist, indem sie eine Gerade sich 

 allmahlich um die Scheitelpunkte der Winkel von der einen anlie- 

 genden Seite bis auf die andere drehen lassen Wenn diese in 

 ihre urspriingliche Lage zuriickkehrt, so soil sie sich im Ganzen 

 um denselben Betrag gedreht haben, wie wenn sie bei der Drehung 

 um einen festen Punkt in ihre urspriingliche Lage zuruckgekehrt 

 ware. Auch hier ist man nicht bei der in Euklids Verlegungs- 

 princip liegenden Charakterisierung des Winkels als Grosse stehen 

 geblieben, sondern der Winkel ist vielmehr als Teil einer ganzen 

 Umdrehung defmiert worden; hierin liegt aber die Voraussetzung, 

 dass dieser Teil eine Grosse von solcher Beschaffenheit hat, dass 

 es gleichgiiltig bleibt, ob man eine ganze Umdrehung um einen 

 einzelnen Punkt vornimmt oder ob man diese Umdrehung in Um- 

 drehungen um verschiedene Punkte zerlegt. Dass hier wirklich eine 

 Voraussetzung gemacht wird, die ebenso wie Euklids eigenes 

 Axiom speciell fur die Ebene gelten soil, das sieht man, wenn 

 man die Ebene mit einer Kugelflache, die Geraden mit Bogen 

 grosster Kreise vertauscht. Dann hort die Voraussetzung namlich 

 auf rich tig zu sein. 



5) Von grosserer Bedeutung mit Bezug auf das Verhaltnis 

 ron Euklids Axiom zu seinem eigenen Lehrgebaude ist jedoch 

 ein Versuch von Legendre, der sich wirklich an Euklids ubrige 

 Voraussetzungen halt. Auf der Grundlage von diesen kann er 

 allerdings nicht den allgemeinen Satz iiber die Winkelsumme eines 

 Dreiecks beweisen, aber es gelingt ihm doch darzuthun, dass die 



Inkelsumme nicht grosser ist als zwei Rechte. Einer 

 ron den Wegen, auf denen er dies Resultat erreicht, folgt sehr 



