138 Die griechiscbe Mathematik: 



genau einem von Euklids eigenen Beweisen, namlich dem in I, 16. 

 Hier beweist Euklid, dass der Nebenwinkel eines Winkels C in 

 einem Dreieck ABC grosser ist als jeder von den beiden anderen 

 Winkeln, z. B. als A. Das wird dargethan, indem man die Mitte 

 D von A C mit B verbindet und darauf D A l = B D abtragt. Das 

 Dreieck A BC erhalt dann dieselbeWinkelsumme wie ABC und 

 enthalt einen Winkel CA l5 der gleich der Summe der Winkel 

 A und C des urspriinglichen Dreiecks ist; daraus folgt A -f- C&amp;lt; 2 R, 

 oder dass A kleiner ist als der Nebenwinkel von C. Die bier an- 

 gewandte Operation wiederholt Legendre, indem er jedesmal 



dafiir sorgt, dass der Winkel, 

 der bier B genannt ist, der 

 kleinste Winkel des Dreiecks 

 ist, das welter umgewandelt 

 wird. Das neue Dreieck, zu 

 dem er gelangt, hat dann be- 

 standig dieselbe Winkelsumme 

 und enthalt einen Winkel, B 

 oder A, der gleich oder kleiner ist als die Halfte des vorhergehenden 

 kleinsten Winkels. Nach einem Princip, das Euklid spater in 

 Verbindung mit dem Exhaustionsbeweise aufstellt, kann man auf 

 diesem Wege zuletzt zu einem Dreieck gelangen, in dem ein Winkel 

 kleiner ist als eine beliebige gegebene Grenze. Euklids eigener 

 Satz zeigt, dass die Summe der beiden anderen Winkel kleiner als 

 zwei Rechte ist. Man kann dann leicht, wenn man will mit dem 

 Exhaustionsbeweise, nachweisen, dass die Summe aller drei Win 

 kel, die unverandert dieselbe wie in dem ersten gegebenen Dreieck 

 ABC geblieben ist, nicht grosser als zwei Rechte ist. 



War man so weit gekommen ohne das lite Axiom (das ote 

 Postulat) zu benutzen, so lag darin die Aufforderung weiter zu 

 gehen. Man musste sich daran halten, dass die Summe der Dreiecks- 

 winkel gleich 2 Rechten oder kleiner sein konnte. Wenn das letz- 

 tere der Fall war, so konnte man beweisen, dass die Winkelsumme 

 abnahm, wenn die Flache des Dreiecks zunahm. Als Ausgangs- 

 punkt fur die (Jntersuchung dariiber, ob gerade Linien sich schnei- 

 den, hatte man nun nur den, den wir die Voraussetzung iiber ge- 

 schlossene Konturen genannt haben, aber man gelangte doch dahin 

 zu beweisen, dass das Schneiden zwischen einer gegebenen Geraden 

 und einer Geraden durch einen gegebenen Punkt stattfindet, wenn 

 diese Gerade in das eine Paar Scheitelwinkel fallt, die von zwei 



