15. Anmerkung iiber die Voraussetzungen der Geometrie. 139 



stimmten, durch den gegebenen Punkt gehenden, geraden Linien 

 ibildet werden. Andere Satze dieser sogenannten nicht-eukli- 

 ischen Geometrie, die von Lobatschewsky und Bolyai ent- 

 rickelt ist, stimmen raehr mit denen der gewb hnlichen euklidischen 

 reometrie iiberein. 



Noch konnen wir eine Art von Geometrie anfiihren, die von 

 luklids Voraussetzungen ausschliesslich diejenige iiber geschlossene 

 ^onturen und die entsprechenden raumlichen Voraussetzungen be- 

 nutzt; diese nennt man Analysis situs. 



Mit den hier angedeuteten geometrischen Untersuchungen iiber 

 die Voraussetzungen der Geometrie hat man in unseren Tagen auch 

 erkenntnistheoretische Fragen danach, woher wir sie haben, 

 verbunden. Sind die Voraussetzungen vollkommen willkiirlich? 

 oder sind sie auf angeborenen Vorstellungen aufgebaut? oder ent- 

 halten sie Wahrheiten, die man durch Erfahrung kennen gelernt 

 hat? Im letzteren Falle darf man nicht sagen, dass die in den 

 Voraussetzungen enthaltenen Behauptungen absolut richtig sind, 

 sondern nur, dass die Abweichungen zu klein gewesen sind um 

 wahrgenommen zu werden. Auf solche Fragen giebt Euklid, 

 nach dem von uns bereits Gesagten, durchaus keine Antwort. Ihm 

 geniigt es, Voraussetzungen aufzustellen, und zu beweisen, dass, 

 wenn sie giiltig sind, alles, was daraus abgeleitet wird, es auch 

 ist. Es wird dann Sache desjenigen, der seine Resultate benutzen 

 will, mit sich dariiber ins Reine zu kommen, wie weit er die Vor 

 aussetzungen anerkennen will. 



16, Die allgemeine Lehre von den Proportionen ; 

 Euklids 5tes und 6tes Buch, 



Wir haben im Vorhergehenden verschiedentlich Ge- 

 3genheit gehabt auf diejenigen Stellen in Euklids ersten 

 ichern aufmerksam zu machen, in denen die Behand- 

 mg von der jetzt gebrauchlichen abweicht. Diese Ab 

 weichungen beruhten, soweit sie nicht von rein formeller 

 iatur waren, im wesentlichen darauf, dass Euklid sich 

 diesen ersten Biichern den Gebrauch der Proportionen 

 rersagen muss und deshalb Beweise liefert, die auf der 



