16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen. 141 



jhende Forderung ausgesprochen, die sich als unentbehr- 

 lich erweisen wird sowohl bei der Ausdehnung der Pro- 

 )rtionslehre auf inkommensurable Grossen, als spaterhin 

 ji den infinitesimalen Untersuchungen, die sich bei Eu- 

 lid und Archimedes mittels des auch von Eudoxus 

 rfundenen Exhaustionsbeweises ausgefiihrt finden. 



In Def. 5 wird gesagt, dass 

 a : b = c : d, 



wenn ma = nb mit sich bringt, dass mc = nd, 



und in Def. 7, dass 



a : b &amp;gt;&amp;gt; c : c?, 



wenn es solche Werte von m und n giebt, dass 

 m a &amp;gt; n b, aber mc&amp;lt;nd. 



Allerdings wird in 5 nicht das Wort gleich fur 

 die beiden Verhaltnisse gebraucht; da aber spater in den 

 Satzen 11 und 13 bewiesen wird, dass a:b = c:d und 

 ^e:f es mit sich bringen, dass a:b^e:f, so ist 

 ?ben von Gleichheit die Rede. Die Bedeutung dieser 

 Definitionen von der Grosse eines Verhaltnisses wird klar, 

 wenn man beachtet, dass sie in Wirklichkeit identisch 

 sind mit der modernen Bestimmung einer irrationalen 

 reinen Zahl durch rationale Naherungswerte. Erstens ist 

 namlich eine reine Zahl das Verhaltnis einer Grosse zu 

 einer Einheit derselben Art. Zweitens laufen Euklids 

 Vergleiche eben hinaus auf Vergleiche von Verhaltnissen 



lit ration alen Naherunsrswerten . 



m 



Nun wollen wir sehen, wie diese Definitionen einer 

 exakten Lehre von Verhaltnissen und Proportionen zu 

 Grunde gelegt werden. 



