

16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen. 143 



a&amp;gt;nc&amp;gt;mb. Das wird dadurch erreicht, dass man 

 die Forderung mit den folgenden vertauscht, die nach 

 Definition 4 erfiillbar sind: 



m b &amp;gt; c und m(a b) &amp;gt; c, 



(n 1) c &amp;lt; m b &amp;lt;C n c, 

 woraus folgt, dass nc &amp;lt;^m a. 



Die Satze 9 und 10, die die Umkehrungen von 7 

 nnd 8 sind, werden antithetisch bewiesen. In 14 wird 

 mit Hiilfe der vorhergehenden Satze bewiesen, dass wenn 



a : b = c : d, 

 # = c mit sich bringt, dass b = d. 



In 15 wird mit Hiilfe von 12 bewiesen, dass 

 m a : m b = a : b. 



Die Satze 16 19 enthalten folgende Umformungen 

 der Proportion 



a : b = c: cL 

 Aus dieses erhalt man a : c = b : d, 



a:b = (a c) : (6 d). 



(16) 

 (17) 

 (18) 

 (19) 



16 und 17 werden mit Hiilfe von Definition 5 be 

 wiesen; daneben werden bei Satz 16 die beiden vorher 

 gehenden Satze benutzt. In Satz 17 wird aus der gegebenen 

 Proportion abgeleitet, dass, fiir alle Werte von m und n, 



m a = (m + n) b mit sich bringt, dass m c = (m + n) d, 

 woraus folgt, dass 



m(a b)==nb mit sich f iihrt, dass m(c d)=n d. 



