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Die griechische Mathematik: 



18 und 19 werden der erstere antithetisch aus 

 16 und 17 abgeleitet. 



Eine Umformung vermisst man jedoch, namlich die- 

 jenige in 



b : a~ d : c. 



Da cliese ausdriicklich im Beweise fur 20 angewandt wird, 

 so hat man sie in einem Zusatz zu Satz 7 suchen wollen, 

 was jedoch misslich 1st, da in 7 nur die Rede von dem 

 Fall ist, wo b = d. Deshalb haben einige Herausgeber 

 den Zusatz nach Satz 4 verlegen wollen. Die Sache ist 

 von keiner grossen Bedeutung, da die Umformung eine 

 unmittelbare Folge von Definition 5 ist. 



Die Satze 20 23 enthalten die wichtige Lehre von 

 zusammengesetzen Verhaltnissen. 22 sagt aus: 



wenn a : b = d : e und b : c = e :/, 



so folgt, dass a : c = d :/. 



Als Vorbereitung auf den Beweis wird in 20 bewiesen, 

 dass nach den Voraussetzungen die Bedingung a = c, 



woraus nach 8 folgt, dass d: e = a : b = c : b =f: e, nach 



9 und 10 mit sich bringt, dass d=f. Da nun die ge- 

 gebenen Proportionen sich nach 4 umformen lassen in 



und 



so muss auch 



ma: nb md:ne 

 n b : p c = n e : pf, 



ma=pc mit sich fiihren, dass md=pf. 



