

16. Die allgemeine Lehre von den Proportioned 145 



Der Satz 23, der aussagt, dass, wenn 



a : b = e :/ und b : c = d : e 

 auch a : c = d :/ 



1st, wird auf dieselbe Weise bewiesen und 1st in derselben 

 Weise durch 21 vorbereitet. 



In diesen Satzen wird gesagt, dass das Verhaltnis 

 a : c aus den Verhaltnissen a : b und b : c zusammengesetzt 

 sei. Fassen wir das antike Verhaltnis als eine moderne 

 Zahl auf, so ergiebt sich, dass das aus den beiden Ver 

 haltnissen zusammengesetzte Verhaltnis dasselbe ist, was 

 man jetzt ein Produkt nennt. Obgleich den Verhalt 

 nissen, die zusammengesetzt werden, bestimmte Fonnen 

 beigelegt werden, da das Hinterglied des einen das Vorder- 

 glied des anderen sein soil, so iibt das dennoch keine 

 Beschrankung auf. die Zusammensetzung von Verhaltnissen 

 aus. Aus der geometrischen Darstellung in VI, 12 ergiebt 

 sich namllch auch, dass jedes Verhaltnis sich so um- 

 formen lasst, dass eines von seinen beiden Gliedern einen 

 gegebenen Wert erhalt. In VI, 23, wo bewiesen wird, 

 dass das Verhaltnis zwischen zwei Parallelogrammen von 

 gleichem Winkel aus den Verhaltnissen der Seiten zu 

 sammengesetzt ist, sieht man denn auch, dass man den 

 letzteren die Formen a : b und b : c giebt, um sie zusammen- 

 zusetzen. 



Wenn wir dieses hier schon mit beriicksichtigen, so 

 enthalten die Satze 22 und 23 vollstandige Beweise fur 

 die Behauptungen, die man jetzt folgendermassen aus- 

 driicken wiirde: Ein Produkt ist bestimmt durch 

 seine Faktoren, und die Reihenfolge der Faktoren 

 ist gleichgiiltig. 



Die Alten besassen also zwei verschiedene Darstel- 

 lungen von dem, was man jetzt unabhangig davon, ob 

 lie Faktoren rational oder irrational sind, ihr Produkt 



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