146 Die griechische Mathematik -. 



nennt, narnlich die eben geschilderte und die in der geo- 

 metrischen Algebra benutzte durch Rechtecke. Dass es 

 wirklich im wesentlichen dasselbe ist, was auf diese bei- 

 den Arten dargestellt wird, sieht man aus dem eben an- 

 gefiihrten 23sten Satze des 6ten Buches. Die Darstellung 

 durch zusammengesetzte Verhaltnisse verbindet einen wesent 

 lichen Vorteil mit ihrer grosseren Umstandlichkeit. Wah- 

 rend die geometrische Algebra gewohnlich nur Produkte 

 aus zwei Faktoren behandelt, die als Rechtecke dargestellt 

 sind, und man sich in den Raum begeben muss, um 

 Produkte aus drei Faktoren als Parallelepipeda dargestellt 

 zu erhalten, so lasst sich ein Produkt aus einer beliebigen 

 Anzahl von Faktoren als ein aus diesen zusammengesetztes 

 Verhaltnis darstellen. Giebt man den Faktoren die Formen 



a : b, b : c, c: d, d: e, 



so wird das daraus zusammengesetzte Verhaltnis a : e ; dies 

 wird ausdriicklich in Satz 22 ausgesprochen. 



Ein Beispiel fur den allgemeinen Gebrauch, den die 

 Griechen von zusammengesetzten Verhaltnissen machten, 

 haben wir bereits gehabt in der Umwandelung der Auf- 

 gabe von der Wiirfelverdoppeiung in die Bestimmung von 

 zwei mittleren Proportionalen. Die fortlaufende Proportion 



a : x = x : y = y : b 



der Alten driickt also ganz dasselbe aus, was man nun 

 ausdriicken wiirde durch 



a /a\ 3 b /x\ 5 



r = I ~ ) oder ~ = ( ~ ) 

 b \x/ a \a/ 



Auf dieselbe Weise werden auch hcihere Potenzen 

 ausgedriickt als Verhaltnisse zwischen dem ersten und 

 letzten Gliede einer fortlaufenden Proportion, d. h. einer 

 solchen, deren Glieder eine geometrische Reihe (Quotienten- 

 reihe) bilden. 



