

16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen. 147 



Dass man auch zu Euklids Zeiten in dieser Bezie- 

 hung welter war, als sich unmittelbar aus seinem 5ten 

 Buch ergiebt, das sieht man aus IX, 35, wo eine Be- 

 stimmung von der Summe der Glieder einer geometrischen 

 Reihe gegeben wird. In unserer Sprache wiirde die darin 

 enthaltene Untersuchung folgendermassen ausgedriickt 

 werden: Wenn 



b a c b d c d a 



so ist i = 



a b c a-\-b + c 



Der Satz wird indessen nicht nur ausgesprochen von 

 einer Summe aus drei aufeinander folgenden Gliedern, 

 deren Betrachtung Euklid im Beweise fur ausreichend 

 gehalten hat. Da dieser allein auf Satze des 5ten Buches 

 aufgebaut ist, so ist er allgemeingultig, wenn auch Eu 

 klid fur den Augenblick ihn nur deshalb mitnimmt, weil 

 er in dem folgenden zahlentheoretischen Satz Verwendung 

 fiir den Satz hat, dass 



1 4- 2 + 2 2 -f- . . . 2* = 2&quot; +1 1. 



Wir miissen um so viel grosseres Gewicht auf diese 

 Darstellung von Produkten und Potenzen legen, als sie 

 bis in die neuere Zeit hinein die Grundlage geblieben ist 

 fiir solche algebraische Untersuchungen, die auf Allgemein- 

 heit Anspruch machten und sich nicht auf rationale Zahlen 

 beschrankten. 



Der Satz V, 24 sagt aus: wenn 



a: c d:f 

 md b : c = e :/, 



folgt, dass (a + b) : c = (d + e) :/; 



lieser Satz ist nahe von derselben Art wie diejenigen sind, 

 lie den Satzen iiber zusammengesetzte Verhaltnisse voran- 



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