148 Die griechische Mathematik . 



gehen; er kann aber erst hier semen Platz finden, well 

 der Satz 22 dazu benutzt wird, urn aus den beiden ge- 

 gebenen Proportionen, nach Umkehrung der Verhaltnisse 

 in der zweiten (Bildung der reciproken Werte), abzuleiten, 

 dass 



a : b = d : e, 



wonach sich mit Hiilfe von 18 ergiebt, dass 

 (a+b):b = (d+e):e. 



Eine neue Zusammensetzung der Verhaltnisse (nach 22) 

 fiihrt dann zu der Proportion, deren Richtigkeit bewiesen 

 werden soil. Die erstgenannte Anwendung von Satz 22 

 wird dadurch interessant, dass sie zeigt, dass die Divi 

 sion von Verhaltnissen keine neuen und besonderen 

 Satze verlangt. 



Der Satz 25 sagt aus, dass, wenn vier Grossen pro 

 portional sind, die Summe aus der grossten und kleinsten 

 grosser ist als die Summe der beiden anderen; dieser 

 Satz wird durch 19 bewiesen. Ein besonderer Fall, der 

 hier jedoch nicht erwahnt wird, ist der, dass die Mittel- 

 grb sse zwischen zwei Grossen (arithmetisches Mittel) grosser 

 ist als ihre mittlere Proportionate (geometrisches Mittel); 

 dies wird in VI, 27 durch geometrische Algebra bewiesen 

 und liefert den Diorismus fur Gleichungen zweiten Grades. 



Zwar ist die im 5ten Buche gegebene Lehre von den 

 Proportionen, trotz der geometrischen Veranschaulichung, 

 vollkommen allgemein und auf alle Arten von Grossen 

 anwendbar; aber sie bedurfte einer Erganzung, die nach 

 der Weise der Alten geometrisch werden musste. Die 

 Existenz der Verhaltnisse geht aus den Definitionen her- 

 vor, sobald man nur Grossen hat, die nach Definition 4 

 Verhaltnisse bilden konnen. Indessen ist, wie oben be- 

 riihrt, ein Beweis erforderlich fiir die Existenz einer sol- 



