16. Die allgemeine Lehre von den Proportioned 149 



chen Grosse, die in Verbindung mit einer gegebenen ein 

 Verhaltnis von gegebenem Werte bildet, und diese Exi- 

 stenz wird durch geometrische Konstruktion einer vierten 

 Proportionale bewiesen. 



Diese geometrische Erganzung zu der Lehre von den 

 Proportionen findet sich im 6ten Buehe, das zugleich 

 die wichtigsten Anwendungen dieser Lehre auf die Geo- 

 metrie enthalt, namentlich auf ahnliche Figuren, sowie 

 ihre Kombination mit der geometrischen Algebra. Das 

 wichtige Ziel, das durch diese Kombination erreicht wird, 

 ist die geometrische Darstellung und Losung von Glei- 

 chungen 2ten Grades, in denen a? 2 mit einem Koefficien- 

 ten behaftet ist. Wenn dieser Koefficient a rational war, 

 so verstanden die Alten wohl, wie wir gesehen haben 

 (S. 61), die Gleichung in eine solche mit der Unbekann- 

 ten a x und ohne Koefficienten des quadratischen Gliedes 

 umzuformen. Wenn der Koefficient dagegen irrational 

 ist und selbst durch eine Strecke dargestellt werden muss, 

 so reicht die gewohnliche geometrische Algebra mit zwei 

 Dimensionen nicht mehr aus. 



In Satz 1, wo bewiesen wird, dass Dreiecke und 

 Parallelogramme von derselben Hohe sich wie die Grund- 

 linien verhalten, findet die euklidische allgemeine Defini 

 tion von der Gleichheit von Verhaltnissen zweckmassige 

 Verwendung. Da gleiche Grundlinien gleiche Flachen- 

 inhalte ergeben, so fuhrt eine unmittelbare Anwendung 

 dieser Definition zu dem allgemeinen Satze, ohne dass es 

 notig ware, wie es in modernen Lehrbiichern geschieht, 

 den Fall, wo die gleichartigen Grossen kommensurabel 

 sind, nachher zu dem allgemeinen zu erweitern. 



Nach diesem Satze folgen in 2 und 3 die Satze iiber 

 parallele Transversalen im Dreieck und iiber die Teilung 

 einer Dreiecksipte durch die Halbierungslinie des gegen- 

 uberliegenden Winkels. Darauf folgen in 4 7 die Haupt- 



